Страница 66 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 72).

Укажите его рёбра:

1) параллельные ребру $A_1B_1$;

2) скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$.

Рис. 72

1) параллельные ребру $A_1B_1$

По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе рёбра являются параллельными, если они представляют собой противоположные стороны одной грани.
Рассмотрим ребро $A_1B_1$ и грани, которым оно принадлежит:

• Ребро $A_1B_1$ принадлежит верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В этой грани ему параллельно противолежащее ребро $D_1C_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel D_1C_1$.
• Ребро $A_1B_1$ принадлежит передней грани $ABB_1A_1$. В этой грани ему параллельно противолежащее ребро $AB$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

Также, ребро $AB$ параллельно ребру $DC$, так как они являются противолежащими сторонами нижней грани $ABCD$. Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$ и $AB \parallel DC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $DC$.
Таким образом, ребру $A_1B_1$ параллельны три ребра куба.

Ответ: $AB, DC, D_1C_1$.

2) скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$

Скрещивающимися называются прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы найти все рёбра, скрещивающиеся с ребром $A_1B_1$, необходимо из общего числа рёбер куба (12) вычесть само ребро $A_1B_1$, а также все рёбра, которые ему параллельны или его пересекают.

• Параллельные рёбра (из пункта 1): $AB, DC, D_1C_1$. Всего 3 ребра.
• Пересекающие рёбра: это рёбра, имеющие с $A_1B_1$ общую вершину.
  • В вершине $A_1$ с ребром $A_1B_1$ пересекаются рёбра $AA_1$ и $A_1D_1$.
  • В вершине $B_1$ с ребром $A_1B_1$ пересекаются рёбра $BB_1$ и $B_1C_1$.
  Всего 4 пересекающихся ребра.

Количество скрещивающихся рёбер равно: $12 - 1 (\text{само ребро } A_1B_1) - 3 (\text{параллельные}) - 4 (\text{пересекающиеся}) = 4$.
Найдём эти рёбра. Это рёбра, которые не имеют общих вершин с ребром $A_1B_1$ и не параллельны ему.

• Рёбра боковых граней, не имеющие общих вершин с $A_1B_1$: $DD_1$ и $CC_1$.
• Рёбра нижнего основания, не параллельные $A_1B_1$: $AD$ и $BC$.

Следовательно, с ребром $A_1B_1$ скрещиваются четыре ребра.

Ответ: $AD, BC, DD_1, CC_1$.

20. Прямые $AB$ и $CD$ — скрещивающиеся. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ также скрещивающиеся.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано: Прямые AB и CD — скрещивающиеся.

Доказать: Прямые AC и BD — скрещивающиеся.

Доказательство:

Предположим, что прямые AC и BD не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны.

В обоих этих случаях (и для пересекающихся, и для параллельных прямых) существует единственная плоскость, в которой лежат обе прямые. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Если прямые AC и BD лежат в плоскости $\alpha$, то все их точки, а именно точки A, C, B и D, также принадлежат этой плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямые AB и CD.

Так как точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогично, так как точки C и D лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая CD лежит в плоскости $\alpha$.

Из этого следует, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости. Но это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые AB и CD являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые AC и BD не могут ни пересекаться, ни быть параллельными.

Таким образом, прямые AC и BD являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые AC и BD также являются скрещивающимися.

21. На одной из двух параллельных прямых выбрали точку и через неё провели прямую, которая пересекает другую. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости.

Обозначим данные параллельные прямые как $a$ и $b$, так что $a \parallel b$. Пусть на прямой $a$ выбрана точка $M$. Через точку $M$ проведена прямая $c$, которая пересекает прямую $b$ в точке $N$. Таким образом, мы имеем: $M \in a$, $N \in b$, и обе точки $M$ и $N$ лежат на прямой $c$.

Согласно теореме стереометрии, через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Назовём эту плоскость, содержащую прямые $a$ и $b$, греческой буквой $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Аналогично, поскольку точка $N$ принадлежит прямой $b$ ($N \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$).

Таким образом, мы имеем две различные точки прямой $c$ (точки $M$ и $N$), которые обе лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $c$ также целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Мы доказали, что все три прямые — $a$, $b$ и $c$ — лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две параллельные прямые задают единственную плоскость. Третья прямая, которая по условию проходит через точку на первой прямой и точку на второй прямой, имеет две точки, лежащие в этой плоскости. Согласно аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.

22. Через вершину $B$ непрямоугольного треугольника $ABC$ проведена прямая $b$, не принадлежащая плоскости треугольника. Докажите, что прямая $b$ и прямая, содержащая высоту треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$, — скрещивающиеся.

Для доказательства воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Обозначим плоскость треугольника $ABC$ как $\alpha$. Пусть $h$ — прямая, содержащая высоту треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$ к прямой $BC$.

1. Прямая $h$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, так как высота треугольника принадлежит плоскости этого треугольника.

2. По условию, прямая $b$ проходит через вершину $B$ и не принадлежит плоскости $\alpha$. Так как точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$, прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке — в точке $B$.

3. Докажем, что точка пересечения $B$ не лежит на прямой $h$. Предположим обратное: точка $B$ лежит на прямой $h$. Прямая $h$ содержит высоту, проведенную из вершины $A$, и по определению перпендикулярна прямой $BC$. Если точка $B$ лежит на прямой $h$, то прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ (то есть прямая $AB$), должна быть перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что угол $\angle ABC$ равен $90^\circ$. Однако это противоречит условию, что треугольник $ABC$ — непрямоугольный. Следовательно, наше предположение неверно, и точка $B$ не принадлежит прямой $h$.

Таким образом, мы имеем: прямая $h$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ пересекает эту плоскость в точке $B$, которая не лежит на прямой $h$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $b$ и $h$ являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Данные прямые являются скрещивающимися.

23. Через конец C отрезка CD проведена плоскость $\beta$. На отрезке CD отметили точку M и провели через неё прямую, пересекающую плоскость $\beta$ в точке $M_1$.

1) Постройте точку $D_1$ пересечения плоскости $\beta$ с прямой, проходящей через точку B и параллельной прямой $MM_1$.

2) Найдите отрезок $MM_1$, если $CM : MD = 1 : 4$, $DD_1 = 20$ см.

1) Постройте точку D₁ пересечения плоскости β с прямой, проходящей через точку D и параллельной прямой MM₁.

Поскольку прямая, проходящая через точку $D$, параллельна прямой $MM_1$, эти две прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Точки $M$ и $D$ принадлежат прямой $CD$, значит, и вся прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$.

По условию, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$. Также точка $C$ принадлежит прямой $CD$, а значит, и плоскости $\alpha$.

Точка $M_1$ по условию принадлежит плоскости $\beta$. Также точка $M_1$ принадлежит прямой $MM_1$, а значит, и плоскости $\alpha$.

Таким образом, точки $C$ и $M_1$ принадлежат обеим плоскостям ($\alpha$ и $\beta$), а значит, прямая $CM_1$ является линией пересечения этих плоскостей.

Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно $MM_1$, лежит в плоскости $\alpha$. Ее точка пересечения с плоскостью $\beta$, то есть точка $D_1$, должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, точка $D_1$ лежит на прямой $CM_1$.

Для построения точки $D_1$ необходимо:

1. Провести прямую через точки $C$ и $M_1$.
2. Провести прямую через точку $D$ параллельно прямой $MM_1$.
3. Точка пересечения построенных прямых и будет искомой точкой $D_1$.

Ответ: Точка $D_1$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $C$ и $M_1$, и прямой, проходящей через $D$ и параллельной $MM_1$.

2) Найдите отрезок MM₁, если CM : MD = 1 : 4, DD₁ = 20 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle CMM_1$ и $\triangle CDD_1$. Эти треугольники лежат в одной плоскости $\alpha$, как было показано в пункте 1.

Угол при вершине $C$ у этих треугольников общий. Так как по построению $MM_1 \parallel DD_1$, то углы $\angle CMM_1$ и $\angle CDD_1$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MM_1$, $DD_1$ и секущей $CD$.

Следовательно, $\triangle CMM_1 \sim \triangle CDD_1$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{CM}{CD} = \frac{MM_1}{DD_1}$

По условию $CM : MD = 1 : 4$. Примем длину отрезка $CM$ за $x$, тогда длина отрезка $MD$ будет $4x$. Длина всего отрезка $CD = CM + MD = x + 4x = 5x$.

Тогда отношение длин отрезков $CM$ и $CD$ равно:

$\frac{CM}{CD} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{1}{5} = \frac{MM_1}{20}$

Отсюда находим длину отрезка $MM_1$:

$MM_1 = \frac{20 \cdot 1}{5} = 4$ см.

Ответ: 4 см.