Страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а боковое ребро — 10 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании. Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 8$ см. Боковое ребро $SA = SB = SC = SD = 10$ см.

Диагональным сечением данной пирамиды является треугольник, проходящий через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания, например, $AC$. Таким образом, диагональное сечение — это треугольник $SAC$.

Найдём стороны треугольника $SAC$:
1. Боковые стороны сечения равны боковым рёбрам пирамиды: $SA = SC = 10$ см. Следовательно, треугольник $SAC$ — равнобедренный.
2. Основание сечения — диагональ квадрата $ABCD$. Найдём её длину по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ или по формуле диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAC$ нужно найти его высоту. Проведём высоту $SO$ из вершины $S$ к основанию $AC$. В правильной пирамиде высота проецируется в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, $SO$ — это и высота пирамиды, и высота треугольника $SAC$. Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + AO^2$.
Найдём высоту $SO$:
$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 10^2 - (4\sqrt{2})^2 = 100 - (16 \cdot 2) = 100 - 32 = 68$.
$SO = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.

Теперь вычислим площадь диагонального сечения (треугольника $SAC$) по формуле:
$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO$.
$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{17} = 8 \cdot \sqrt{2 \cdot 17} = 8\sqrt{34}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{34}$ см$^2$.

184. Сторона основания правильной восьмиугольной пирамиды равна 4 см, а её апофема — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется как произведение половины периметра её основания ($P$) на апофему ($l$). Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Формула для вычисления площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$.

1. Найдём периметр основания пирамиды. Основанием является правильный восьмиугольник со стороной $a = 4$ см. Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. $P = 8 \cdot a = 8 \cdot 4 \text{ см} = 32 \text{ см}$.

2. Вычислим площадь боковой поверхности. Из условия известно, что апофема пирамиды $l = 9$ см. Подставим значения периметра основания и апофемы в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 16 \cdot 9 \text{ см}^2 = 144 \text{ см}^2$.

Ответ: $144 \text{ см}^2$.

185. Плоский угол при вершине правильной девятиугольной пирамиды равен $30^\circ$, а боковое ребро — 8 см.

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани. Так как пирамида правильная девятиугольная, у нее 9 одинаковых боковых граней.

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны боковому ребру пирамиды, а угол между ними — это плоский угол при вершине пирамиды.

Пусть $l$ — длина бокового ребра, а $\alpha$ — плоский угол при вершине. По условию задачи:
$l = 8$ см
$\alpha = 30°$

Площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2}l^2\sin\alpha$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(30°)$
Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получим:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64}{4} = 16$ см²

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды, умножив площадь одной грани на их количество (9):
$S_{бок} = 9 \cdot S_{грани} = 9 \cdot 16 = 144$ см²

Ответ: 144 см²

186. Как изменится площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если сторону основания увеличить в 4 раза, а апофему уменьшить в 2 раза?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Пусть $P_1$ и $l_1$ — это первоначальные периметр основания и апофема соответственно. Тогда первоначальная площадь боковой поверхности равна:

$S_1 = \frac{1}{2} P_1 \cdot l_1$

Согласно условию, сторону основания увеличили в 4 раза. Поскольку периметр основания прямо пропорционален длине его стороны, новый периметр $P_2$ также увеличится в 4 раза:

$P_2 = 4 \cdot P_1$

Апофему, по условию, уменьшили в 2 раза. Новая апофема $l_2$ будет равна:

$l_2 = \frac{l_1}{2}$

Теперь вычислим новую площадь боковой поверхности $S_2$, подставив новые значения периметра и апофемы в формулу:

$S_2 = \frac{1}{2} P_2 \cdot l_2 = \frac{1}{2} \cdot (4P_1) \cdot \left(\frac{l_1}{2}\right)$

Упростим полученное выражение, чтобы увидеть, как $S_2$ соотносится с $S_1$:

$S_2 = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 2} \cdot (P_1 \cdot l_1) = 1 \cdot (P_1 \cdot l_1)$. Чтобы сравнить с $S_1$, вынесем коэффициент 2:

$S_2 = \frac{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} P_1 \cdot l_1\right) = 2 \cdot S_1$

Таким образом, новая площадь боковой поверхности в 2 раза больше первоначальной.

Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 2 раза.

187. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема.

В условии даны апофема $l = 6$ см и высота пирамиды $h = 3$ см. Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо найти периметр основания.

Высота пирамиды ($h$), ее апофема ($l$) и радиус вписанной в основание окружности ($r$) образуют прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной ($a$) формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим и найдем сторону основания $a$:

$a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Теперь найдем периметр основания $P$:

$P = 3a = 3 \cdot 18 = 54$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 6 = 27 \cdot 6 = 162$ см$^2$.

Ответ: $162$ см$^2$.

188. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

По условию, сторона основания $a = 10$ см. Подставим это значение в формулу:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 10^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 100 \cdot \sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P = 6a = 6 \cdot 10 = 60$ см.

Чтобы найти апофему $l$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($SO$), апофемой основания ($OM$) и апофемой боковой грани ($SM=l$). Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания, который равен углу $\angle SMO = 60^\circ$.

Сначала найдем длину апофемы основания $r$ (отрезок $OM$). Для правильного шестиугольника апофема равна высоте равностороннего треугольника, из которых он состоит:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$) мы знаем катет $OM=r$ и противолежащий ему угол $\angle SMO = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $SM=l$ через косинус:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$

$\cos(60^\circ) = \frac{r}{l} \Rightarrow l = \frac{r}{\cos(60^\circ)}$

$l = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 10\sqrt{3} = 30 \cdot 10\sqrt{3} = 300\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150\sqrt{3} + 300\sqrt{3} = 450\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $450\sqrt{3} \text{ см}^2$.

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 8 см, а высота — 4 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — это периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его сторона равна $a$.

1. Найдем сторону основания пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и половиной диагонали основания $(\frac{d}{2})$. По теореме Пифагора:$l^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$.

Подставим известные значения: $l = 8$ см и $H = 4$ см.

$8^2 = 4^2 + (\frac{d}{2})^2$

$64 = 16 + (\frac{d}{2})^2$

$(\frac{d}{2})^2 = 64 - 16 = 48$

$\frac{d}{2} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Следовательно, вся диагональ основания $d = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Выразим сторону основания:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6}$ см.

2. Найдем апофему пирамиды.

Апофема $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $H$ и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания (равный половине стороны основания, $\frac{a}{2}$).

$\frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

По теореме Пифагора:$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$.

$h_a^2 = 4^2 + (2\sqrt{6})^2 = 16 + 4 \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.

$h_a = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Периметр основания (квадрата) равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{10} = 16\sqrt{6 \cdot 10} = 16\sqrt{60}$.

Упростим полученное выражение:

$S_{бок} = 16\sqrt{4 \cdot 15} = 16 \cdot 2\sqrt{15} = 32\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{15}$ см$^2$.

190. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $6\sqrt{2}$ см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. $O$ — точка пересечения диагоналей основания. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

1. Найдем сторону основания. Основание пирамиды — квадрат. Его диагональ по условию равна $d = 6\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Отсюда находим сторону основания:$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

2. Угол, который боковое ребро (например, $SA$) образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SAO = 60^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $AO$ равен половине диагонали основания $AC$:$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

4. Теперь найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани). Пусть $SK$ — апофема, проведенная к стороне $AB$. Треугольник $\triangle SAB$ — равнобедренный ($SA=SB$), поэтому $SK$ является также его медианой, и $AK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.Чтобы найти апофему $SK$, нам нужна длина бокового ребра $SA$. Из треугольника $\triangle SAO$:$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} \Rightarrow SA = \frac{AO}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SKA$ по теореме Пифагора находим апофему $SK$:$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (6\sqrt{2})^2 - 3^2 = 72 - 9 = 63$.$SK = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

5. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 3\sqrt{7} = 12 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{7}$ см$^2$.

191. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а радиус окружности, описанной около основания, — 2 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Для решения задачи необходимо последовательно найти каждую из этих площадей.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, связан с его диагональю $d$ соотношением $d = 2R$. В то же время, диагональ квадрата связана с его стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.

Приравняв выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{2} = 2R$.

Выразим сторону квадрата $a$ через радиус $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

По условию радиус $R = 2$ см, следовательно, сторона основания равна:

$a = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь основания (квадрата) вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$:

$S_{осн} = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема.

Периметр основания (квадрата) равен:

$P = 4a = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Апофема пирамиды по условию равна $l = 8$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2}) \cdot 8 = 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$)

Сложим найденные площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8 + 32\sqrt{2}$ см².

Можно вынести общий множитель 8 за скобки для более компактной записи:

$S_{полн} = 8(1 + 4\sqrt{2})$ см².

Ответ: $8(1 + 4\sqrt{2})$ см².

192. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а апофема — 5 см. Найдите:

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

3) площадь полной поверхности пирамиды.

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). $SO$ — высота пирамиды. Сторона основания $a = AB = 8$ см. Апофема (высота боковой грани) $SM = 5$ см, где $M$ — середина стороны $CD$.
Угол наклона бокового ребра (например, $SC$) к плоскости основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания ($OC$). Таким образом, искомый угол — это $\angle SCO$ в прямоугольном треугольнике $SOC$.
Для нахождения угла нам нужно найти длины катетов $SO$ и $OC$.
1. Найдем высоту $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Гипотенуза $SM$ — это апофема, $SM = 5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $SO$:
$SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.
2. Найдем длину проекции $OC$. $OC$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$OC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
3. Теперь в прямоугольном треугольнике $SOC$ мы знаем оба катета. Найдем тангенс угла $\angle SCO$:
$\text{tg}(\angle SCO) = \frac{SO}{OC} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
Следовательно, искомый угол равен $\text{arctg}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.
Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
Угол наклона боковой грани (например, $SCD$) к плоскости основания — это двугранный угол между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$. Он измеряется линейным углом $\angle SMO$. Этот угол образован двумя перпендикулярами к общей прямой $CD$: апофемой $SM \perp CD$ и отрезком $OM \perp CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором мы уже знаем длины всех сторон:
- Катет $SO = 3$ см (высота пирамиды).
- Катет $OM = 4$ см (половина стороны основания).
- Гипотенуза $SM = 5$ см (апофема).
Найдем косинус угла $\angle SMO$:
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.
Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

3) площадь полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды ($S_\text{полн}$) равна сумме площади основания ($S_\text{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_\text{бок}$).
$S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок}$.
1. Площадь основания. Основание — квадрат со стороной $a = 8$ см.
$S_\text{осн} = a^2 = 8^2 = 64$ см².
2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника (например, $\triangle SCD$) равна половине произведения его основания ($CD$) на высоту (апофему $SM$).
$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см².
Площадь всей боковой поверхности:
$S_\text{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SCD} = 4 \cdot 20 = 80$ см².
3. Площадь полной поверхности:
$S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок} = 64 + 80 = 144$ см².
Ответ: 144 см².

193. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол $α$, а радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Основанием пирамиды является квадрат, а боковые грани — это четыре равных равнобедренных треугольника.

Обозначим сторону основания пирамиды как $a$, а боковое ребро как $l$. Рассмотрим одну из боковых граней — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $l$. По условию задачи, угол между боковым ребром и стороной основания равен $\alpha$. Это означает, что углы при основании этого треугольника равны $\alpha$.

Решение

Сначала найдём связь между стороной основания $a$ и радиусом $r$ окружности, вписанной в боковую грань.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углами при основании $\alpha$. Проведём в нём высоту к основанию (которая также является апофемой пирамиды). Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Центр вписанной окружности (инцентр) лежит на этой высоте.

Пусть $M$ — середина основания $a$ боковой грани. Центр вписанной окружности $O$ находится на высоте $SM$ на расстоянии $r$ от основания $AB$. Биссектриса угла $\alpha$ (т.е. $\angle SAB$) проходит через инцентр $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO$, где $AM$ — половина основания ($a/2$), $OM$ — радиус вписанной окружности ($r$), а угол $\angle OAM$ равен половине угла $\angle SAB$, то есть $\alpha/2$.

Из этого треугольника получаем соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OM}{AM} = \frac{r}{a/2}$

Выразим сторону основания $a$ через $r$ и $\alpha$:

$a = \frac{2r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = 2r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём площадь одной боковой грани. Площадь треугольника ($S_{грани}$) равна половине произведения его основания на высоту. Высота (апофема) $h_a$ боковой грани может быть найдена из прямоугольного треугольника $\triangle SAM$ с катетом $AM = a/2$ и прилежащим углом $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{h_a}{AM} = \frac{h_a}{a/2}$

Отсюда высота $h_a$:

$h_a = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$

Найдём площадь одной боковой грани:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} a \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) состоит из четырёх таких равных граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2}{4} \tan(\alpha) = a^2 \tan(\alpha)$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $a$:

$S_{бок} = (2r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \tan(\alpha) = 4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$

Ответ: $4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$