Страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны $7\text{ см}$ и $17\text{ см}$, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы используется формула $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение высоты, боковой стороны и диагонали основания (трапеции).

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Обозначим её основания как $a=17$ см и $b=7$ см.В равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота $h_{тр}$ равна полусумме оснований:

$h_{тр} = \frac{a+b}{2} = \frac{17+7}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. Проведем высоту из вершины меньшего основания на большее. Она отсечет прямоугольный треугольник, один катет которого — высота трапеции $h_{тр}$, а второй катет равен полуразности оснований:

$x = \frac{a-b}{2} = \frac{17-7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора найдем боковую сторону $c$ (гипотенузу):

$c = \sqrt{h_{тр}^2 + x^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь найдем длину диагонали трапеции $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - x = 17 - 5 = 12$ см. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{h_{тр}^2 + (a-x)^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение периметра основания.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

$P_{осн} = a + b + 2c = 17 + 7 + 2 \cdot 13 = 24 + 26 = 50$ см.

3. Нахождение высоты призмы.

Диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между диагональю призмы и её проекцией, и по условию он равен $45°$.

В этом прямоугольном треугольнике катеты равны высоте призмы $H$ и диагонали основания $d$. Так как один из острых углов равен $45°$, то треугольник является равнобедренным, следовательно, $H=d$.

$H = d = 12\sqrt{2}$ см.

4. Нахождение площади боковой поверхности призмы.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 50 \cdot 12\sqrt{2} = 600\sqrt{2}$ см².

Ответ: $600\sqrt{2}$ см².

160. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $90^\circ$. Каждая из этих диагоналей образует угол $30^\circ$ с плоскостью основания призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна 3 см.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. По условию, боковые грани, соответствующие равным сторонам основания, равны. Пусть равными сторонами основания будут $AB$ и $BC$. Тогда равные боковые грани — это $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$. Высота призмы $H = AA_1 = 3$ см.

Диагонали равных боковых граней проведены из одной вершины основания, пусть это будет вершина $B$. Этими диагоналями являются отрезки $BA_1$ и $BC_1$.

По условию задачи, угол между этими диагоналями равен $90°$, то есть $\angle A_1BC_1 = 90°$.

Также по условию, каждая из этих диагоналей образует угол $30°$ с плоскостью основания. Угол между наклонной (диагональю) и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $BA_1$ на плоскость основания $ABC$ является сторона $AB$. Следовательно, $\angle A_1BA = 30°$. Аналогично, проекцией $BC_1$ является $BC$, и $\angle C_1BC = 30°$.

1. Найдём длины сторон основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90°$, так как призма прямая и ребро $A_1A$ перпендикулярно основанию). Катет $A_1A$ равен высоте призмы, $A_1A = H = 3$ см. Угол $\angle A_1BA = 30°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём длину стороны $AB$:
$\tan(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{AB}$
$AB = \frac{A_1A}{\tan(30°)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $BC = AB = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину третьей стороны основания $AC$. Для этого сначала вычислим длины диагоналей $BA_1$ и $BC_1$. Из того же треугольника $\triangle A_1AB$:
$\sin(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{BA_1}$
$BA_1 = \frac{A_1A}{\sin(30°)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Так как боковые грани $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$ равны, то и их диагонали равны: $BC_1 = BA_1 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BC_1$. Мы знаем длины двух его сторон, $BA_1 = 6$ см и $BC_1 = 6$ см, и угол между ними $\angle A_1BC_1 = 90°$. Следовательно, $\triangle A_1BC_1$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

По теореме Пифагора найдем длину его гипотенузы $A_1C_1$:
$(A_1C_1)^2 = (BA_1)^2 + (BC_1)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
$A_1C_1 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Отрезок $A_1C_1$ — это сторона верхнего основания призмы. Так как основания призмы равны ($ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $), то $AC = A_1C_1 = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдём площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Периметр основания $\triangle ABC$:
$P_{осн} = AB + BC + AC = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ см.

Высота призмы $H = 3$ см.

Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) \cdot 3 = 18\sqrt{3} + 18\sqrt{2} = 18(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $18(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см$^2$.

161. Основанием прямой призмы является правильный треугольник, высота которого равна $4\sqrt{3}$ см. Через сторону основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $60^{\circ}$.

Пусть основанием прямой призмы является правильный треугольник. Обозначим его высоту как $h_{осн}$, по условию $h_{осн} = 4\sqrt{3}$ см.

Сначала найдем длину стороны основания $a$. Для правильного (равностороннего) треугольника формула высоты, проведенной к стороне, имеет вид:

$h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим известное значение высоты и выразим сторону $a$:

$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$4 = \frac{a}{2}$

$a = 8$ см.

Теперь вычислим площадь основания призмы $S_{осн}$, которая является площадью правильного треугольника:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

По условию, через сторону основания проведена плоскость, которая образует сечение. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что основание призмы является ортогональной проекцией построенного сечения на плоскость основания.

Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью его ортогональной проекции $S_{осн}$ и углом $\alpha$ между их плоскостями следующей формулой:

$S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить искомую площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

По условию задачи, угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью сечения равен $60^\circ$. Подставим все известные значения в формулу:

$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{\cos(60^\circ)}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{1/2} = 16\sqrt{3} \cdot 2 = 32\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32\sqrt{3}$ см².

162. Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы равна $2\sqrt{2}$ см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь сечения призмы, которое проходит через сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$.

1. Найдем сторону основания. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. По условию, диагональ основания равна $2\sqrt{2}$ см. Тогда: $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ $a = 2$ см.

2. Найдем высоту призмы. Диагональ призмы (например, $A_1C$) образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Этот угол, $\angle A_1CA$, находится в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AC$, катетами которого являются высота призмы $H = AA_1$ и диагональ основания $AC = 2\sqrt{2}$ см. Поскольку один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, он является равнобедренным, и его катеты равны: $H = AC = 2\sqrt{2}$ см.

3. Построим сечение и определим его вид. Сечение проходит через сторону нижнего основания, например $AD$, и противоположную ей сторону верхнего основания, $B_1C_1$. Полученный четырехугольник – $ADC_1B_1$. Так как стороны $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны (как соответствующие стороны оснований), то четырехугольник $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Призма является правильной, а значит, она прямая. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Отсюда следует, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $AB_1$. Значит, угол $\angle DAB_1 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

4. Найдем площадь сечения. Площадь прямоугольника $ADC_1B_1$ равна произведению его смежных сторон $AD$ и $AB_1$. Сторона $AD = a = 2$ см. Сторону $AB_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle AA_1B$: $AB_1 = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{H^2 + a^2}$ $AB_1 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь вычислим площадь сечения: $S_{сеч} = AD \cdot AB_1 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $4\sqrt{3}$ см².

163. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $α$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $β$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если меньшая диагональ её основания равна $d$.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$ и меньшей диагональю $BD = d$. Высота призмы равна $h$. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Сначала найдем сторону ромба, чтобы вычислить периметр основания. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В прямоугольном треугольнике $\Delta AOB$ катет $OB = \frac{BD}{2} = \frac{d}{2}$, а угол $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$. Сторона ромба $a = AB$ является гипотенузой. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \implies \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$Отсюда находим сторону ромба:$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$Периметр основания $P_{осн} = 4a = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдем высоту призмы $h=AA_1$. По условию, плоскость, проведенная через меньшую диагональ нижнего основания ($BD$) и вершину острого угла верхнего основания (например, $A_1$), образует с плоскостью основания угол $\beta$. Эта плоскость сечения — треугольник $A_1BD$.Угол между плоскостями $(A_1BD)$ и $(ABCD)$ — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $BD$. Для нахождения его величины построим линейный угол. В плоскости основания проведем $AO \perp BD$ (так как диагонали ромба перпендикулярны). Так как призма прямая, $AA_1 \perp (ABCD)$. Тогда $AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AO$ перпендикулярна $BD$, то и наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.Следовательно, угол $\angle A_1OA$ является линейным углом данного двугранного угла, и $\angle A_1OA = \beta$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta A_1AO$ ( $\angle A_1AO = 90^\circ$ ). В нем $AA_1 = h$ и $h = AO \cdot \tan(\beta)$.Найдем $AO$ из треугольника $\Delta AOB$ в основании:$\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{AO}$Отсюда $AO = \frac{d}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}$.Подставим это выражение в формулу для высоты:$h = \frac{d}{2\tan(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\beta)$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{d \tan(\beta)}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}$$S_{бок} = \frac{d^2 \tan(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\alpha}{2})}$Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, преобразуем знаменатель:$S_{бок} = \frac{d^2 \tan(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2}) \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{d^2 \tan(\beta) \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\beta) \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

164. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 8 см, а боковое ребро — 2 см. Через сторону $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям.

По условию, сторона основания $a = AC = 8$ см, а боковое ребро $h = AA_1 = 2$ см.

Секущая плоскость проходит через сторону $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания. Обозначим середину стороны $A_1B_1$ как точку $M$.

Построим сечение. Так как плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая $AC$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $A_1C_1$ (поскольку $AC \parallel A_1C_1$).

В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ прямая, проходящая через середину стороны $A_1B_1$ (точку $M$) параллельно стороне $A_1C_1$, является средней линией треугольника. Эта средняя линия пересекает сторону $B_1C_1$ в её середине. Обозначим середину $B_1C_1$ как точку $N$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ACNM$.

Определим вид и размеры этого четырехугольника.
1. Основания: $AC$ и $MN$. Так как мы построили $MN \parallel AC$, четырехугольник $ACNM$ — трапеция.
Длина нижнего основания $AC = 8$ см.
Длина верхнего основания $MN$ равна половине длины $A_1C_1$, так как $MN$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$.
$MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

2. Боковые стороны: $AM$ и $CN$.
Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$, которая является прямоугольником. Длину стороны $AM$ можно найти из прямоугольного треугольника $AA_1M$. Катеты $AA_1 = 2$ см и $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
По теореме Пифагора:
$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
$AM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Аналогично, для боковой грани $CC_1B_1B$ и прямоугольного треугольника $CC_1N$ имеем $CC_1 = 2$ см и $C_1N = \frac{1}{2} C_1B_1 = 4$ см.
$CN^2 = CC_1^2 + C_1N^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
$CN = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Так как $AM = CN$, трапеция $ACNM$ является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота. Проведем в равнобедренной трапеции $ACNM$ высоту $MH$ из вершины $M$ на основание $AC$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле:
$AH = \frac{AC - MN}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$. Высота трапеции $MH$ является катетом в этом треугольнике. По теореме Пифагора:
$MH^2 = AM^2 - AH^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2^2 = 20 - 4 = 16$.
$MH = \sqrt{16} = 4$ см.

Площадь трапеции $ACNM$ вычисляется по формуле:
$S_{ACNM} = \frac{AC + MN}{2} \cdot MH = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.