Страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB \perp AD$, $AB \perp BC$, $BC = 20$ см, $AD = 30$ см, $AB$ на 2 см меньше $CD$. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведён перпендикуляр $MO$ к плоскости трапеции, $MO = 5$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

По условию, трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. Это означает, что $AB$ является высотой трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы ее противолежащих сторон равны:$AB + CD = BC + AD$Подставим известные значения:$AB + CD = 20 + 30 = 50$ см.

Из условия также известно, что $AB$ на 2 см меньше $CD$, то есть $AB = CD - 2$. Подставим это выражение в предыдущее равенство:$(CD - 2) + CD = 50$$2CD - 2 = 50$$2CD = 52$$CD = 26$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:$AB = 26 - 2 = 24$ см.

Высота прямоугольной трапеции $h$ равна ее боковой стороне, перпендикулярной основаниям. В данном случае $h = AB = 24$ см. Диаметр вписанной окружности в трапецию равен ее высоте. Следовательно, радиус $r$ вписанной окружности равен:$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции, и это расстояние равно радиусу $r$. Таким образом, расстояние от точки $O$ до каждой из сторон $AB, BC, CD, AD$ равно 12 см.

По условию, к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $MO$, где $O$ - центр вписанной окружности, и $MO = 5$ см. Расстояние от точки $M$ до любой стороны трапеции - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AD$. Пусть $OK$ - перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AD$. Тогда $OK = r = 12$ см. Отрезок $MK$ является наклонной к плоскости трапеции, а $OK$ - ее проекцией. По теореме о трех перпендикулярах, так как $OK \perp AD$, то и $MK \perp AD$. Следовательно, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AD$.

Треугольник $MOK$ является прямоугольным, так как $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $OK$. По теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2$$MK^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$MK = \sqrt{169} = 13$ см.

Поскольку расстояние от центра $O$ до всех сторон трапеции одинаково и равно радиусу $r=12$ см, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции также будет одинаковым и равным 13 см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции равно 13 см.

106. Отрезок $BK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Через вершину $B$ проведён перпендикуляр $MB$ к плоскости треугольника. Прямая $MK$ перпендикулярна прямой $AC$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

По условию задачи, отрезок $MB$ проведен через вершину $B$ перпендикулярно плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $MB \perp (ABC)$.
Отрезок $MK$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $BK$ — ее проекцией на эту плоскость. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

В задаче дано, что прямая $MK$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $MK \perp AC$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Обратная теорема гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость.

Применительно к нашей задаче: так как прямая $AC$ (лежащая в плоскости $(ABC)$) перпендикулярна наклонной $MK$, то она также перпендикулярна и проекции $BK$. Следовательно, $BK \perp AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. Мы установили, что отрезок $BK$ перпендикулярен стороне $AC$, а это значит, что $BK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$.

По условию задачи, отрезок $BK$ также является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является одновременно и высотой, и биссектрисой. Согласно одному из признаков равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса, проведенная к стороне, также является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

107. Точка $M$ находится на расстоянии $2\sqrt{21}$ см от плоскости треугольника $ABC$ и равноудалена от прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, если $AB = 11$ см, $BC = 25$ см, $AC = 30$ см.

1. Анализ условия и построение

Пусть $M$ - данная точка, а $ABC$ - данный треугольник. Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту плоскость. По условию, проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, следовательно, $MO \perp (ABC)$ и длина $MO = 2\sqrt{21}$ см.

Точка $M$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника ($AB$, $BC$, $AC$). Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра. Опустим из точки $M$ перпендикуляры на стороны треугольника: $MK \perp AB$, $ML \perp BC$, $MN \perp AC$. По условию, $MK = ML = MN$.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$, $ON$. По теореме о трех перпендикулярах: так как $MO$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $MK$ - наклонная, перпендикулярная прямой $AB$ в этой плоскости, то ее проекция $OK$ также перпендикулярна прямой $AB$. Аналогично, $OL \perp BC$ и $ON \perp AC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (прямые углы при вершине $O$). У них общий катет $MO$, а гипотенузы равны по условию ($MK = ML = MN$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = ON$.

Поскольку точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$ и равноудалена от его сторон, она является центром вписанной в треугольник окружности, а отрезки $OK$, $OL$, $ON$ - ее радиусами. Обозначим этот радиус как $r$. Таким образом, $OK = r$.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности ($r$)

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем полупериметр треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=25$ см, $b=AC=30$ см, $c=AB=11$ см:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+30+11}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Площадь треугольника найдем по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{33(33-25)(33-30)(33-11)} = \sqrt{33 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 22}$
Разложим числа на простые множители для удобства извлечения корня:
$S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3 \cdot (2 \cdot 11)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 33 = 132$ см².

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{132}{33} = 4$ см.
Следовательно, $OK = 4$ см.

3. Нахождение расстояния от точки M до прямой AB

Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ - это длина перпендикуляра $MK$. Мы можем найти его из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора, где $MO$ и $OK$ - катеты, а $MK$ - гипотенуза.

$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (2\sqrt{21})^2 + 4^2 = 4 \cdot 21 + 16 = 84 + 16 = 100$
$MK = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

108. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $BF$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $F$ до прямой $AD$ равно $\sqrt{106}$ см, а до прямой $CD$ — $15$ см, $AB = 5$ см. Найдите сторону $BC$ прямоугольника.

Поскольку прямая $BF$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $BF \perp AB$ и $BF \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle FBA$ и $\triangle FBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

1. Нахождение длины перпендикуляра BF

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра от точки к прямой. Чтобы найти расстояние от точки $F$ до прямой $AD$, воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Отрезок $BF$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$. Отрезок $FA$ — наклонная к этой плоскости, а отрезок $AB$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ ($AB \perp AD$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой на плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($FA$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $FA \perp AD$.

Это означает, что длина отрезка $FA$ и есть расстояние от точки $F$ до прямой $AD$. По условию, $FA = \sqrt{106}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBA$. По теореме Пифагора:

$FA^2 = FB^2 + AB^2$

Подставим известные значения $FA = \sqrt{106}$ см и $AB = 5$ см:

$(\sqrt{106})^2 = FB^2 + 5^2$

$106 = FB^2 + 25$

$FB^2 = 106 - 25 = 81$

$FB = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Нахождение стороны BC

Теперь найдем расстояние от точки $F$ до прямой $CD$. Отрезок $FC$ — наклонная к плоскости $(ABCD)$, а отрезок $BC$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, $FC \perp CD$.

Следовательно, длина отрезка $FC$ является расстоянием от точки $F$ до прямой $CD$. По условию, $FC = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBC$. По теореме Пифагора:

$FC^2 = FB^2 + BC^2$

Подставим известные значения $FC = 15$ см и найденное значение $FB = 9$ см:

$15^2 = 9^2 + BC^2$

$225 = 81 + BC^2$

$BC^2 = 225 - 81 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Угол между прямой и плоскостью

109. Наклонная образует с плоскостью угол $60^\circ$. Найдите длину наклонной, если длина её проекции на эту плоскость равна 9 см.

Угол между наклонной и плоскостью по определению является углом между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Наклонная, её проекция и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а её проекция — катетом, прилежащим к заданному углу.

Пусть $L$ — искомая длина наклонной, $p$ — длина её проекции, а $\alpha$ — угол между ними.
Согласно условию задачи, мы имеем:
$p = 9$ см
$\alpha = 60^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать соотношение:
$\cos(\alpha) = \frac{p}{L}$

Выразим из этой формулы длину наклонной $L$:
$L = \frac{p}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения в формулу. Значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.
$L = \frac{9}{\cos(60^{\circ})} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

110. Найдите угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, если длина наклонной равна 15 см, а расстояние от конца наклонной до плоскости — 3 см.

Пусть дана наклонная к плоскости. Длина наклонной представляет собой гипотенузу в прямоугольном треугольнике, одним из катетов которого является перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость (это расстояние от конца наклонной до плоскости), а другим катетом — проекция наклонной на эту плоскость.

Обозначим:

• $L$ — длина наклонной, $L = 15$ см.
• $h$ — расстояние от конца наклонной до плоскости, $h = 3$ см.
• $\alpha$ — искомый угол между наклонной и плоскостью.

Этот угол $\alpha$ является одним из острых углов в образовавшемся прямоугольном треугольнике. Катет $h$ лежит напротив угла $\alpha$, а наклонная $L$ является гипотенузой.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Подставим известные значения в формулу:

$\sin(\alpha) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Чтобы найти сам угол $\alpha$, нужно взять арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{5}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{5}\right)$

111. Через вершину B равнобедренного треугольника ABC проведен перпендикуляр SB к его плоскости длиной 4 см. Точка M — середина стороны AC. Найдите угол между прямой SM и плоскостью треугольника, если $AB = BC = 5 \text{ см}$, $AC = 6 \text{ см}$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В данном случае прямая — это $SM$, а плоскость — $(ABC)$.

По условию, $SB$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $BM$ является ортогональной проекцией наклонной $SM$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, искомый угол между прямой $SM$ и плоскостью $(ABC)$ — это угол между прямой $SM$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle SMB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SMB$. Так как $SB$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Значит, $SB \perp BM$, и треугольник $\triangle SMB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Для нахождения угла $\angle SMB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SMB$ необходимо найти длины его катетов $SB$ и $BM$.

1. Длина катета $SB$ дана по условию: $SB = 4$ см.

2. Длину катета $BM$ найдем из треугольника $\triangle ABC$. Треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. $BM$ — медиана, проведенная к основанию, так как $M$ — середина $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $BM \perp AC$, и треугольник $\triangle ABM$ — прямоугольный.

В $\triangle ABM$:

• гипотенуза $AB = 5$ см;
• катет $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем катет $BM$:$AB^2 = AM^2 + BM^2$$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$BM = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SMB$. Мы знаем длины его катетов: $SB = 4$ см и $BM = 4$ см. Так как катеты равны, $\triangle SMB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$.

Можно также найти угол через тангенс:$\tan(\angle SMB) = \frac{SB}{BM} = \frac{4}{4} = 1$Отсюда следует, что $\angle SMB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.