Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Плоскость $\alpha$ проходит через середины сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника $ABCD$ и перпендикулярна прямым $AD$ и $BC$. Докажите, что если $BC = AD$, то четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник.

1. Доказательство параллельности сторон AD и BC

По условию задачи, плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямым $AD$ и $BC$. Согласно свойству о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны друг другу. Следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм

Из предыдущего пункта следует, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны. По условию задачи, длины этих сторон также равны: $AD = BC$. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм, и все его вершины лежат в одной плоскости.

3. Доказательство того, что ABCD — прямоугольник

Чтобы доказать, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником, достаточно показать, что один из его углов прямой, то есть что его смежные стороны перпендикулярны. Докажем, что $AB \perp AD$.

Пусть $M$ — середина стороны $AD$, а $N$ — середина стороны $BC$. По условию, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\alpha$, а значит, и вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку по условию прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AD \perp \alpha$), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AD \perp MN$.

Рассмотрим вектор $\vec{MN}$. Для любого четырехугольника $ABCD$ справедливо векторное равенство, связывающее отрезок между серединами двух сторон с двумя другими сторонами: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм (что было доказано в пункте 2), то его противоположные стороны, представленные как векторы, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB}) = \vec{AB}$

Равенство векторов $\vec{MN} = \vec{AB}$ означает, что прямые $MN$ и $AB$ параллельны ($MN \parallel AB$).

Мы установили, что $AD \perp MN$ и $MN \parallel AB$. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Следовательно, $AD \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником.

77. Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $AM$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Через точку $O$ пересечения диагоналей прямоугольника проведена прямая $OK$, параллельная прямой $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин прямоугольника, если $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $OK = 6$ см.

Поскольку прямая $AM$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABC$, то $AM \perp (ABC)$. По условию, прямая $OK$ параллельна прямой $AM$ ($OK \parallel AM$). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая $OK$ также перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABC$ ($OK \perp (ABC)$).

Это означает, что отрезок $OK$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости $(ABC)$ и проходящему через точку $O$. В частности, $OK$ перпендикулярен отрезкам $OA, OB, OC$ и $OD$. Таким образом, треугольники $\Delta KOA, \Delta KOB, \Delta KOC$ и $\Delta KOD$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$.

Для нахождения расстояний от точки $K$ до вершин прямоугольника ($KA, KB, KC, KD$), нам нужно найти длины отрезков $OA, OB, OC, OD$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $OA = OB = OC = OD$.

Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $\Delta ABC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

Тогда половины диагоналей равны:

$OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь мы можем найти искомые расстояния, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\Delta KOA, \Delta KOB, \Delta KOC$ и $\Delta KOD$.

Расстояние от точки K до вершины A

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOA$ гипотенуза $KA$ равна:

$KA^2 = OK^2 + OA^2$

$KA^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KA = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины B

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOB$ гипотенуза $KB$ равна:

$KB^2 = OK^2 + OB^2$

$KB^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KB = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины C

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOC$ гипотенуза $KC$ равна:

$KC^2 = OK^2 + OC^2$

$KC^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KC = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины D

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOD$ гипотенуза $KD$ равна:

$KD^2 = OK^2 + OD^2$

$KD^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KD = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

78. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $FB$, перпендикулярная его плоскости, $FB = 6$ см. Найдите угол между прямыми $AB$ и $FD$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см.

Прямые $AB$ и $FD$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AB$ и $FD$ равен углу $\angle FDC$ между пересекающимися прямыми $FD$ и $CD$.

Рассмотрим треугольник $FDC$. По условию, прямая $FB$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Прямая $FC$ является наклонной к этой плоскости, а $BC$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны $BC$ и $CD$ перпендикулярны ($BC \perp CD$). По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($CD$), то и сама наклонная ($FC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $FC \perp CD$, и треугольник $FDC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Найдем длины катетов прямоугольного треугольника $FDC$.Катет $CD$ равен противолежащей стороне прямоугольника $AB$: $CD = AB = 9$ см.Катет $FC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $FBC$ (угол $\angle FBC = 90^\circ$, так как $FB \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:$FC^2 = FB^2 + BC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$ см².Отсюда $FC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

В прямоугольном треугольнике $FDC$ тангенс искомого угла $\angle FDC$ равен отношению противолежащего катета $FC$ к прилежащему катету $CD$:$\tan(\angle FDC) = \frac{FC}{CD} = \frac{6\sqrt{5}}{9} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$.Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$.

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 57 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость: 1) $ABC$; 2) $CDD_1$; 3) $ADD_1$.

Рис. 57

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то она совпадает со своей проекцией.

1) ABC

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость основания $ABC$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как точка $B$ лежит в этой плоскости.
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$. Это следует из того, что ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ по определению куба, значит, отрезок $DD_1$ является перпендикуляром из точки $D_1$ к плоскости $ABC$.
Таким образом, отрезок $BD$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ: $BD$.

2) CDD₁

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $CDD_1$ является точка $C$. Это следует из того, что ребро $BC$ перпендикулярно плоскости $CDD_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $BC \perp CD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $BC \perp DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABC$, в которой лежит $BC$).
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $CDD_1$ является сама точка $D_1$, так как точка $D_1$ лежит в этой плоскости.
Таким образом, отрезок $CD_1$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $CDD_1$.
Ответ: $CD_1$.

3) ADD₁

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость боковой грани $ADD_1$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $ADD_1$ является точка $A$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $ADD_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AB \perp AA_1$ (так как $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABC$, в которой лежит $AB$).
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $ADD_1$ является сама точка $D_1$, так как точка $D_1$ лежит в этой плоскости.
Таким образом, отрезок $AD_1$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $ADD_1$.
Ответ: $AD_1$.

80. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная длиной 12 см. Найдите длину перпендикуляра, если длина проекции наклонной на данную плоскость равна 7 см.

Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, наклонная, проведенная из той же точки к той же плоскости, и проекция этой наклонной на плоскость образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• наклонная является гипотенузой (длина по условию – 12 см);
• перпендикуляр является одним из катетов (его длину нужно найти);
• проекция наклонной является вторым катетом (длина по условию – 7 см).

Обозначим длину перпендикуляра как $h$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$12^2 = h^2 + 7^2$

Выразим $h^2$:
$h^2 = 12^2 - 7^2$
$h^2 = 144 - 49$
$h^2 = 95$

Тогда длина перпендикуляра $h$ равна:
$h = \sqrt{95}$ см.

Ответ: $\sqrt{95}$ см.

81. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной на данную плоскость равна 6 см. Найдите длины перпендикуляра и наклонной, если угол между перпендикуляром и наклонной равен $30^\circ$.

Пусть из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонная AM. Отрезок HM является проекцией наклонной AM на плоскость α. Перпендикуляр AH, наклонная AM и её проекция HM образуют прямоугольный треугольник ΔAHM, в котором ∠AHM = 90°.

По условию задачи нам даны:

• длина проекции наклонной: HM = 6 см;
• угол между перпендикуляром и наклонной: ∠HAM = 30°.

В прямоугольном треугольнике ΔAHM:

• AH – катет, прилежащий к углу ∠HAM (искомая длина перпендикуляра);
• HM – катет, противолежащий углу ∠HAM;
• AM – гипотенуза (искомая длина наклонной).

Длина перпендикуляра

Для нахождения длины перпендикуляра AH воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$tan(∠HAM) = \frac{HM}{AH}$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно AH:

$tan(30°) = \frac{6}{AH}$

$AH = \frac{6}{tan(30°)}$

Зная, что $tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$AH = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: длина перпендикуляра равна $6\sqrt{3}$ см.

Длина наклонной

Для нахождения длины наклонной AM воспользуемся определением синуса угла:

$sin(∠HAM) = \frac{HM}{AM}$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно AM:

$sin(30°) = \frac{6}{AM}$

$AM = \frac{6}{sin(30°)}$

Зная, что $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AM = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$ см.

Ответ: длина наклонной равна 12 см.

82. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, $MN = 20$ см. Проекция наклонной $MN$ на плоскость $\alpha$ равна 16 см, а проекция наклонной $MK$ — 5 см. Найдите наклонную $MK$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $MH$ является общим перпендикуляром для наклонных $MN$ и $MK$, а отрезки $HN$ и $HK$ — их проекциями на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHN$ (где $\angle MHN = 90^\circ$). Гипотенуза $MN$ (наклонная) равна 20 см, а катет $HN$ (проекция) равен 16 см. По теореме Пифагора найдем длину катета $MH$:
$MH^2 = MN^2 - HN^2$
$MH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHK$ (где $\angle MHK = 90^\circ$). Катет $MH$ равен 12 см, а катет $HK$ (проекция) по условию равен 5 см. Найдем длину гипотенузы $MK$ (искомой наклонной) по теореме Пифагора:
$MK^2 = MH^2 + HK^2$
$MK^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$MK = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

83. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MK$ и $MC$ и перпендикуляр $MD$. Найдите наклонные $MK$ и $MC$, если $KD = 6 \text{ см}$, $\angle MCD = 30^\circ$, $\angle MKD = 60^\circ$.

По условию задачи, MD — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Это означает, что отрезок MD перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку D. В частности, $MD \perp KD$ и $MD \perp CD$. Следовательно, треугольники $\triangle MDK$ и $\triangle MDC$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине D, то есть $\angle MDK = 90^\circ$ и $\angle MDC = 90^\circ$.

Нахождение наклонной MK

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MDK$. В нем известны катет $KD = 6$ см и острый угол $\angle MKD = 60^\circ$. Наклонная $MK$ является гипотенузой этого треугольника. Связь между прилежащим катетом ($KD$), гипотенузой ($MK$) и углом между ними ($\angle MKD$) выражается через косинус:

$\cos(\angle MKD) = \frac{KD}{MK}$

Выразим из этой формулы $MK$:

$MK = \frac{KD}{\cos(\angle MKD)}$

Подставим известные значения: $KD = 6$ см и $\angle MKD = 60^\circ$ (где $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$):

$MK = \frac{6}{1/2} = 12$ см.

Ответ: наклонная $MK = 12$ см.

Нахождение наклонной MC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MDC$. Чтобы найти гипотенузу $MC$, нам нужно знать длину хотя бы одного катета. Найдем длину катета $MD$ из треугольника $\triangle MDK$, так как он является общим для обоих треугольников.

В треугольнике $\triangle MDK$ катет $MD$ противоположен углу $\angle MKD = 60^\circ$. Связь между катетами и углом выражается через тангенс:

$\tan(\angle MKD) = \frac{MD}{KD}$

Выразим из этой формулы $MD$:

$MD = KD \cdot \tan(\angle MKD)$

Подставим известные значения: $KD = 6$ см и $\angle MKD = 60^\circ$ (где $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$):

$MD = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle MDC$ нам известен катет $MD = 6\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle MCD = 30^\circ$. Наклонная $MC$ является гипотенузой. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом выражается через синус:

$\sin(\angle MCD) = \frac{MD}{MC}$

Выразим отсюда $MC$:

$MC = \frac{MD}{\sin(\angle MCD)}$

Подставим известные значения: $MD = 6\sqrt{3}$ см и $\angle MCD = 30^\circ$ (где $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$):

$MC = \frac{6\sqrt{3}}{1/2} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: наклонная $MC = 12\sqrt{3}$ см.

84. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, длины которых относятся как $25 : 26$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $MN$ и $MK$ на эту плоскость равны соответственно $14$ см и $20$ см.

Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина отрезка $MH$ является искомым расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Обозначим эту длину как $h$.

Отрезки $MN$ и $MK$ являются наклонными к плоскости $\alpha$. Отрезки $HN$ и $HK$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\alpha$.

По условию задачи:

• Отношение длин наклонных: $MN : MK = 25 : 26$.
• Длина проекции $HN = 14$ см.
• Длина проекции $HK = 20$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины наклонных можно выразить как $MN = 25x$ и $MK = 26x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикуляром, наклонными и их проекциями:

1. Треугольник $\triangle MHN$ (прямоугольный, $\angle MHN = 90^\circ$).
2. Треугольник $\triangle MHK$ (прямоугольный, $\angle MHK = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$MN^2 = MH^2 + HN^2$

$MK^2 = MH^2 + HK^2$

Подставим известные значения и введенные переменные в эти уравнения. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} (25x)^2 = h^2 + 14^2 \\ (26x)^2 = h^2 + 20^2 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 625x^2 = h^2 + 196 \\ 676x^2 = h^2 + 400 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

$h^2 = 625x^2 - 196$

$h^2 = 676x^2 - 400$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти $x$:

$625x^2 - 196 = 676x^2 - 400$

$676x^2 - 625x^2 = 400 - 196$

$51x^2 = 204$

$x^2 = \frac{204}{51}$

$x^2 = 4$

Теперь, зная $x^2$, мы можем найти $h^2$, подставив значение $x^2=4$ в любое из выражений для $h^2$. Воспользуемся первым:

$h^2 = 625x^2 - 196 = 625 \cdot 4 - 196$

$h^2 = 2500 - 196$

$h^2 = 2304$

Найдем $h$, извлекая квадратный корень:

$h = \sqrt{2304} = 48$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 48 см.

Ответ: 48 см.