Номер 84, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, длины которых относятся как $25 : 26$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $MN$ и $MK$ на эту плоскость равны соответственно $14$ см и $20$ см.

Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина отрезка $MH$ является искомым расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Обозначим эту длину как $h$.

Отрезки $MN$ и $MK$ являются наклонными к плоскости $\alpha$. Отрезки $HN$ и $HK$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\alpha$.

По условию задачи:

• Отношение длин наклонных: $MN : MK = 25 : 26$.
• Длина проекции $HN = 14$ см.
• Длина проекции $HK = 20$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины наклонных можно выразить как $MN = 25x$ и $MK = 26x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикуляром, наклонными и их проекциями:

1. Треугольник $\triangle MHN$ (прямоугольный, $\angle MHN = 90^\circ$).
2. Треугольник $\triangle MHK$ (прямоугольный, $\angle MHK = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$MN^2 = MH^2 + HN^2$

$MK^2 = MH^2 + HK^2$

Подставим известные значения и введенные переменные в эти уравнения. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} (25x)^2 = h^2 + 14^2 \\ (26x)^2 = h^2 + 20^2 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 625x^2 = h^2 + 196 \\ 676x^2 = h^2 + 400 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

$h^2 = 625x^2 - 196$

$h^2 = 676x^2 - 400$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти $x$:

$625x^2 - 196 = 676x^2 - 400$

$676x^2 - 625x^2 = 400 - 196$

$51x^2 = 204$

$x^2 = \frac{204}{51}$

$x^2 = 4$

Теперь, зная $x^2$, мы можем найти $h^2$, подставив значение $x^2=4$ в любое из выражений для $h^2$. Воспользуемся первым:

$h^2 = 625x^2 - 196 = 625 \cdot 4 - 196$

$h^2 = 2500 - 196$

$h^2 = 2304$

Найдем $h$, извлекая квадратный корень:

$h = \sqrt{2304} = 48$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 48 см.

Ответ: 48 см.