Номер 89, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и $6\sqrt{5}$ см. Точка $M$ находится на расстоянии 15 см от каждой из его вершин. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами $a = 12$ см и $b = 6\sqrt{5}$ см. Точка M находится на одинаковом расстоянии $d = 15$ см от каждой из вершин треугольника (A, B и C).

Расстояние от точки M до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка MH.

Поскольку точка M равноудалена от всех вершин треугольника ($MA = MB = MC = 15$ см), ее проекция H на плоскость треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности. Прямоугольные треугольники MHA, MHB и MHC равны по гипотенузе и общему катету MH.

1. Нахождение гипотенузы треугольника

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 12^2 + (6\sqrt{5})^2 = 144 + 36 \cdot 5 = 144 + 180 = 324$

$c = \sqrt{324} = 18$ см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Этот радиус представляет собой расстояние от центра H до любой из вершин.

$R = \frac{c}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Итак, расстояние от проекции H до любой из вершин (например, HA) равно 9 см.

3. Нахождение расстояния от точки M до плоскости

Рассмотрим прямоугольный треугольник MHA, где $\angle MHA = 90^{\circ}$. В этом треугольнике:

- Гипотенуза $MA = 15$ см (по условию).

- Катет $HA = R = 9$ см.

- Катет $MH$ — искомое расстояние.

Применим теорему Пифагора для треугольника MHA:

$MA^2 = MH^2 + HA^2$

$MH^2 = MA^2 - HA^2$

$MH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.