Номер 94, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $BC$, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $\alpha$. По условию, прямая $m$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$). Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$, то прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем этот общий перпендикуляр.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, $AH \perp BC$.

Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $m \perp AH$.

Таким образом, отрезок $AH$ перпендикулярен и прямой $m$ (в точке $A$), и прямой $BC$ (в точке $H$). Следовательно, $AH$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $m$ и $BC$.

Значит, искомое расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно длине высоты $AH$ треугольника $ABC$.

Найдем длину высоты $AH$. Нам даны длины всех сторон треугольника $ABC$: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S_{ABC}$:
$S_{ABC} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

3. Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Отсюда найдем высоту $AH$:
$AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.