Номер 97, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 10 см, точка $M$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние между прямыми $AM$ и $CC_1$.

Прямые $AM$ и $CC_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AM$ лежит в плоскости основания куба $(ABCD)$, а прямая $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$, которая не лежит на прямой $AM$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать метод ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Ребро куба $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$. Выберем эту плоскость в качестве плоскости проекции.

Ортогональной проекцией прямой $CC_1$ на плоскость $(ABCD)$ является точка $C$.

Прямая $AM$ полностью лежит в плоскости $(ABCD)$, поэтому ее ортогональной проекцией на эту плоскость является сама прямая $AM$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AM$ и $CC_1$ равно расстоянию между их проекциями на плоскость $(ABCD)$, то есть расстоянию от точки $C$ до прямой $AM$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: в квадрате $ABCD$ найти расстояние от вершины $C$ до прямой $AM$. Обозначим это расстояние как $h$.

По условию, сторона квадрата $a = 10$ см. Точка $M$ — середина стороны $CD$, следовательно, $CM = MD = a/2 = 10/2 = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $ACM$. Расстояние от точки $C$ до прямой $AM$ — это длина высоты, опущенной из вершины $C$ на сторону $AM$. Найдем эту высоту через площадь треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника $ACM$. За основание примем сторону $CM$. Высота, проведенная к этому основанию (или к прямой $CD$, на которой оно лежит) из вершины $A$, равна по длине стороне квадрата $AD$.$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см$^2$.

Теперь найдем длину стороны $AM$, чтобы использовать ее как основание. В прямоугольном треугольнике $ADM$ (угол $D$ прямой) по теореме Пифагора:$AM^2 = AD^2 + DM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$.$AM = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Площадь треугольника $ACM$ также можно выразить через основание $AM$ и искомую высоту $h$:$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$.

Подставим известные значения:$25 = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{5} \cdot h$.

Выразим $h$:$h = \frac{2 \cdot 25}{5\sqrt{5}} = \frac{50}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$h = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$ см.

Следовательно, искомое расстояние между прямыми $AM$ и $CC_1$ равно $2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.