Номер 99, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Из точки $F$, не принадлежащей плоскости прямо-угольника $ABCD$, опущен перпендикуляр $FK$ на пло-скость $ABC$ (рис. 61). Постройте перпендикуляр, опу-щенный из точки $F$ на прямую $AD$.

Рис. 61

Для решения этой задачи используется теорема о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашей задаче:

• $FK$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• Любой отрезок, соединяющий точку $F$ с точкой на прямой $AD$, будет наклонной к плоскости $(ABC)$.
• Искомый перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$ — это наклонная, которую нам нужно построить. Обозначим ее $FM$, где $M$ — точка на прямой $AD$.
• $KM$ — будет проекцией наклонной $FM$ на плоскость $(ABC)$.

Построение

1. В плоскости прямоугольника $ABCD$ проведем из точки $K$ перпендикуляр к прямой $AD$. Точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $AD$ назовем $M$. Таким образом, мы получаем отрезок $KM$ такой, что $KM \perp AD$.
2. Соединим точки $F$ и $M$ отрезком.

Полученный отрезок $FM$ и есть искомый перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$.

Обоснование

Прямая $AD$ перпендикулярна проекции $KM$ по построению. Так как $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна проекции наклонной $FM$, то по теореме о трех перпендикулярах прямая $AD$ перпендикулярна и самой наклонной $FM$.

Докажем это подробнее:

1. $FK \perp (ABC)$ по условию.
2. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$.
3. Из (1) и (2) следует, что $FK \perp AD$ (так как прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости).
4. $KM \perp AD$ по построению.
5. Прямые $FK$ и $KM$ пересекаются в точке $K$.
6. Из (3), (4) и (5) следует, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($FK$ и $KM$) плоскости $(FKM)$, а значит, $AD \perp (FKM)$.
7. Прямая $FM$ лежит в плоскости $(FKM)$.
8. Из (6) и (7) следует, что $AD \perp FM$.

Таким образом, отрезок $FM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $F$ на прямую $AD$.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки $F$ на прямую $AD$, необходимо сначала в плоскости $ABC$ провести из точки $K$ перпендикуляр $KM$ к прямой $AD$, а затем соединить точки $F$ и $M$. Отрезок $FM$ будет искомым перпендикуляром.