Номер 102, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Через вершину угла $B$ треугольника $ABC$ проведён перпендикуляр $MB$ к его плоскости (рис. 62). Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$, если $AB = c$, $MB = d$, $\angle BAC = \alpha$.

Рис. 62

Искомое расстояние от точки M до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка MH, при условии что $MH \perp AC$.

По условию, отрезок MB перпендикулярен плоскости треугольника ABC ($MB \perp (ABC)$). Отрезок MH является наклонной, проведенной из точки M к прямой AC, лежащей в плоскости (ABC). Отрезок BH является проекцией этой наклонной на плоскость (ABC).

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции. Так как по построению $MH \perp AC$, то из теоремы следует, что и проекция $BH \perp AC$.

Следовательно, BH — это высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к стороне AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике известны гипотенуза $AB = c$ и острый угол $\angle BAH = \alpha$. Найдем катет BH, который лежит напротив угла $\alpha$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = c \cdot \sin(\alpha)$.

Теперь рассмотрим треугольник MBH. Так как MB перпендикулярен плоскости (ABC), он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку B. Значит, $MB \perp BH$, и треугольник MBH является прямоугольным с прямым углом $\angle MBH = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике MBH известны длины двух катетов: $MB = d$ (по условию) и $BH = c \sin(\alpha)$. Искомое расстояние MH является гипотенузой этого треугольника. Применим теорему Пифагора:
$MH^2 = MB^2 + BH^2$
$MH^2 = d^2 + (c \sin(\alpha))^2 = d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)$
$MH = \sqrt{d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\sqrt{d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)}$