Номер 103, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей ромба $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $OF$ длиной $2$ см. Найдите расстояние от точки $F$ до сторон ромба, если $AC = 16$ см, $BD = 12$ см.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Из точки $O$ к плоскости ромба проведен перпендикуляр $OF$.
По условию задачи дано:
Длина перпендикуляра $OF = 2$ см.
Длина диагонали $AC = 16$ см.
Длина диагонали $BD = 12$ см.
Нужно найти расстояние от точки $F$ до сторон ромба.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В силу симметрии ромба, расстояния от точки $F$ до всех его сторон будут одинаковы. Найдем расстояние от точки $F$ до стороны $AB$.

Проведем из точки $F$ перпендикуляр $FH$ к стороне $AB$. Длина отрезка $FH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим отрезки $OF$, $OH$ и $FH$.
$OF$ — перпендикуляр к плоскости ромба $(ABC)$.
$FH$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.
$OH$ — проекция наклонной $FH$ на плоскость $(ABC)$.
По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $FH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то и ее проекция $OH$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OH \perp AB$.
Это означает, что $OH$ является расстоянием от центра ромба $O$ до стороны $AB$.

Так как $OF \perp (ABC)$, то $OF$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Следовательно, $OF \perp OH$. Таким образом, треугольник $\triangle FOH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора, искомое расстояние $FH$ можно найти по формуле: $FH = \sqrt{OF^2 + OH^2}$.

1. Найдем длину $OH$.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный, и его катеты равны:
$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{16}{2} = 8$ см.
$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ (сторону ромба):
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

$OH$ является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO$
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH$
Приравняв правые части, получим:
$AO \cdot BO = AB \cdot OH$
Отсюда выразим $OH$:
$OH = \frac{AO \cdot BO}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$ см.

2. Найдем расстояние $FH$.

Теперь, зная $OF = 2$ см и $OH = 4,8$ см, можем найти гипотенузу $FH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle FOH$:
$FH = \sqrt{OF^2 + OH^2} = \sqrt{2^2 + (4,8)^2} = \sqrt{4 + 23,04} = \sqrt{27,04}$
$FH = 5,2$ см.

Расстояние от точки $F$ до сторон ромба составляет 5,2 см.
Ответ: 5,2 см.