Номер 101, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Геометрия, 10 класс Дидактические материалы, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Рабинович Ефим Михайлович, Якир Михаил Семёнович, издательство Вентана-граф, Москва, 2020

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.

Тип: Дидактические материалы

Издательство: Вентана-граф

Год издания: 2020 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-360-09769-3

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Теорема о трёх перпендикулярах. Вариант 2. Упражнения - номер 101, страница 48.

№101 (с. 48)
Условие. №101 (с. 48)
скриншот условия
Геометрия, 10 класс Дидактические материалы, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Рабинович Ефим Михайлович, Якир Михаил Семёнович, издательство Вентана-граф, Москва, 2020, страница 48, номер 101, Условие

101. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

Решение. №101 (с. 48)
Геометрия, 10 класс Дидактические материалы, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Рабинович Ефим Михайлович, Якир Михаил Семёнович, издательство Вентана-граф, Москва, 2020, страница 48, номер 101, Решение
Решение 2. №101 (с. 48)

Пусть дан правильный треугольник $ABC$, $O$ — центр вписанной в него окружности. По условию, из точки $O$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Это означает, что $OD \perp (ABC)$.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AC$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$. Тогда $DK \perp AC$, и по условию длина этого перпендикуляра $DK = 14$ см.

Рассмотрим отрезки $OD$, $OK$ и $DK$.

$OD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.

$DK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.

$OK$ — проекция наклонной $DK$ на плоскость $(ABC)$.

Поскольку наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах её проекция $OK$ также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OK \perp AC$.

Отрезок $OK$ соединяет центр вписанной окружности $O$ с точкой касания $K$ на стороне $AC$. Следовательно, $OK$ является радиусом вписанной окружности. Обозначим его как $r$, то есть $OK = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ODK$. Так как $OD \perp (ABC)$, то $OD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OK$. Следовательно, $\triangle ODK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

По теореме Пифагора для $\triangle ODK$:

$DK^2 = OD^2 + OK^2$

Подставим известные значения:

$14^2 = 6^2 + r^2$

$196 = 36 + r^2$

$r^2 = 196 - 36$

$r^2 = 160$

$r = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Мы нашли радиус окружности, вписанной в правильный треугольник. Теперь найдём сторону этого треугольника, обозначив её как $a$. Формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус вписанной в него окружности:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим сторону $a$ из этой формулы:

$a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $r = 4\sqrt{10}$ см:

$a = \frac{6 \cdot 4\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{24\sqrt{10} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{30}}{3} = 8\sqrt{30}$ см.

Ответ: $8\sqrt{30}$ см.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 101 расположенного на странице 48 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №101 (с. 48), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.