Номер 101, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 101, страница 48.

Условие.

101. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан правильный треугольник $ABC$, $O$ — центр вписанной в него окружности. По условию, из точки $O$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Это означает, что $OD \perp (ABC)$.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AC$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$. Тогда $DK \perp AC$, и по условию длина этого перпендикуляра $DK = 14$ см.

Рассмотрим отрезки $OD$, $OK$ и $DK$.

$OD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.

$DK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.

$OK$ — проекция наклонной $DK$ на плоскость $(ABC)$.

Поскольку наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах её проекция $OK$ также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OK \perp AC$.

Отрезок $OK$ соединяет центр вписанной окружности $O$ с точкой касания $K$ на стороне $AC$. Следовательно, $OK$ является радиусом вписанной окружности. Обозначим его как $r$, то есть $OK = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ODK$. Так как $OD \perp (ABC)$, то $OD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OK$. Следовательно, $\triangle ODK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

По теореме Пифагора для $\triangle ODK$:

$DK^2 = OD^2 + OK^2$

Подставим известные значения:

$14^2 = 6^2 + r^2$

$196 = 36 + r^2$

$r^2 = 196 - 36$

$r^2 = 160$

$r = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Мы нашли радиус окружности, вписанной в правильный треугольник. Теперь найдём сторону этого треугольника, обозначив её как $a$. Формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус вписанной в него окружности:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим сторону $a$ из этой формулы:

$a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $r = 4\sqrt{10}$ см:

$a = \frac{6 \cdot 4\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{24\sqrt{10} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{30}}{3} = 8\sqrt{30}$ см.

Ответ: $8\sqrt{30}$ см.