Номер 104, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $FO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $F$ удалена от этой плоскости на 4 см. Найдите расстояние от точки $F$ до сторон треугольника, если $AB = 15$ см, $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

Обозначим расстояние от точки $F$ до сторон треугольника $ABC$ как $d$. Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, AC$ соответственно. Центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $OK = OL = OM = r$. Также радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $OM \perp AC$.

По условию, прямая $FO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что отрезок $FO$ является перпендикуляром к плоскости, и его длина равна расстоянию от точки $F$ до плоскости, то есть $FO = 4$ см.

Расстояние от точки $F$ до стороны, например $AB$, — это длина перпендикуляра, опущенного из $F$ на $AB$. Обозначим его $FK$.

Рассмотрим отрезки $FO$ (перпендикуляр к плоскости $ABC$), $FK$ (наклонная к плоскости) и $OK$ (проекция наклонной $FK$ на плоскость $ABC$). Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $FK$ перпендикулярна прямой $AB$.

Следовательно, искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $FK$. Так как $FO \perp (ABC)$, то $FO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$, в частности $FO \perp OK$. Это значит, что треугольник $FOK$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора для треугольника $FOK$:
$FK^2 = FO^2 + OK^2$.
Мы знаем $FO = 4$ см. Нам нужно найти $OK = r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$ треугольника $ABC$:
Стороны треугольника: $a = BC = 9$ см, $b = AC = 12$ см, $c = AB = 15$ см.
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+12+15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем площадь $S$ треугольника $ABC$:
Для нахождения площади можно использовать формулу Герона, но сначала проверим, не является ли треугольник прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
$c^2 = 15^2 = 225$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AC$ и $BC$ и гипотенузой $AB$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{54}{18} = 3$ см. Следовательно, $OK = 3$ см.

4. Найдем расстояние $FK$:
Теперь мы можем найти длину гипотенузы $FK$ в прямоугольном треугольнике $FOK$:
$FK = \sqrt{FO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как расстояния от центра вписанной окружности $O$ до всех сторон треугольника одинаковы и равны $r=3$ см, а длина перпендикуляра $FO$ постоянна, то расстояние от точки $F$ до всех трех сторон треугольника ($AB, BC, AC$) будет одинаковым.

Ответ: 5 см.