Номер 111, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Через вершину B равнобедренного треугольника ABC проведен перпендикуляр SB к его плоскости длиной 4 см. Точка M — середина стороны AC. Найдите угол между прямой SM и плоскостью треугольника, если $AB = BC = 5 \text{ см}$, $AC = 6 \text{ см}$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В данном случае прямая — это $SM$, а плоскость — $(ABC)$.

По условию, $SB$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $BM$ является ортогональной проекцией наклонной $SM$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, искомый угол между прямой $SM$ и плоскостью $(ABC)$ — это угол между прямой $SM$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle SMB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SMB$. Так как $SB$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Значит, $SB \perp BM$, и треугольник $\triangle SMB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Для нахождения угла $\angle SMB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SMB$ необходимо найти длины его катетов $SB$ и $BM$.

1. Длина катета $SB$ дана по условию: $SB = 4$ см.

2. Длину катета $BM$ найдем из треугольника $\triangle ABC$. Треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. $BM$ — медиана, проведенная к основанию, так как $M$ — середина $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $BM \perp AC$, и треугольник $\triangle ABM$ — прямоугольный.

В $\triangle ABM$:

• гипотенуза $AB = 5$ см;
• катет $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем катет $BM$:$AB^2 = AM^2 + BM^2$$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$BM = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SMB$. Мы знаем длины его катетов: $SB = 4$ см и $BM = 4$ см. Так как катеты равны, $\triangle SMB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$.

Можно также найти угол через тангенс:$\tan(\angle SMB) = \frac{SB}{BM} = \frac{4}{4} = 1$Отсюда следует, что $\angle SMB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.