Номер 113, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Из точки $C$ к плоскости $\beta$ провели наклонные $CA$ и $CB$, образующие с ней углы $45^{\circ}$ и $30^{\circ}$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $CB$ на плоскость $\beta$, если $CA = 8\sqrt{6}$ см.

Пусть $C$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\beta$. Проведем из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к плоскости $\beta$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра. Отрезок $HA$ является проекцией наклонной $CA$ на плоскость $\beta$, а отрезок $HB$ — проекцией наклонной $CB$ на плоскость $\beta$.
Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. Согласно условию, угол между наклонной $CA$ и плоскостью $\beta$ равен $45^\circ$, значит $\angle CAH = 45^\circ$. Угол между наклонной $CB$ и плоскостью $\beta$ равен $30^\circ$, значит $\angle CBH = 30^\circ$.
Поскольку $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, треугольники $\triangle CHA$ и $\triangle CHB$ являются прямоугольными ($\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$). Длина перпендикуляра $CH$ является общей для обоих треугольников.

Шаг 1: Нахождение длины перпендикуляра CH
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHA$. Нам известна длина гипотенузы $CA = 8\sqrt{6}$ см и угол $\angle CAH = 45^\circ$.
Найдем катет $CH$, противолежащий этому углу, используя синус угла: $CH = CA \cdot \sin(\angle CAH)$
$CH = 8\sqrt{6} \cdot \sin(45^\circ)$
Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $CH = 8\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Шаг 2: Нахождение проекции наклонной CB
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHB$. Нам известен катет $CH = 8\sqrt{3}$ см и угол $\angle CBH = 30^\circ$.
Искомая проекция — это катет $HB$, прилежащий к углу $\angle CBH$. Воспользуемся тангенсом угла, который связывает оба катета: $\tan(\angle CBH) = \frac{CH}{HB}$
Выразим отсюда $HB$: $HB = \frac{CH}{\tan(\angle CBH)}$
Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем: $HB = \frac{8\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: 24 см.