Номер 116, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. На ребре $AD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 2 : 3$. Найдите угол между прямой $B_1K$ и плоскостью $BAA_1$, если $AD = 15$ см, $AB = 6$ см, $AA_1 = 6\sqrt{2}$ см.

Дано: прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K \in AD$, $AK : KD = 2 : 3$, $AD = 15$ см, $AB = 6$ см, $AA_1 = 6\sqrt{2}$ см.
Найти: угол между прямой $B_1K$ и плоскостью $BAA_1$.

1. Найдем длину отрезка $AK$.
Поскольку точка $K$ делит ребро $AD$ в отношении $AK : KD = 2 : 3$, то вся длина ребра $AD$ состоит из $2+3=5$ частей.
$AK = \frac{2}{5} AD = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6$ см.

2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Построим проекцию прямой $B_1K$ на плоскость $BAA_1$.
Точка $B_1$ уже лежит в плоскости $BAA_1$, значит, её проекция совпадает с самой точкой $B_1$.
Для нахождения проекции точки $K$ на плоскость $BAA_1$ необходимо опустить перпендикуляр из $K$ на эту плоскость.

3. В прямоугольном параллелепипеде ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$ (то есть плоскости $BAA_1$), так как $AD \perp AB$ (стороны прямоугольника в основании) и $AD \perp AA_1$ (ребро основания перпендикулярно боковому ребру).
Поскольку точка $K$ лежит на прямой $AD$, а точка $A$ принадлежит плоскости $BAA_1$, то отрезок $KA$ является перпендикуляром к плоскости $BAA_1$.
Следовательно, точка $A$ является проекцией точки $K$ на плоскость $BAA_1$.

4. Таким образом, прямая $B_1A$ является проекцией прямой $B_1K$ на плоскость $BAA_1$.
Искомый угол — это угол между наклонной $B_1K$ и её проекцией $B_1A$, то есть угол $\angle KB_1A$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle KB_1A$. Так как $KA \perp (BAA_1)$, а прямая $B_1A$ лежит в этой плоскости, то $KA \perp B_1A$. Это означает, что $\triangle KB_1A$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $A$.
Найдем длины его катетов:
- Катет $KA = 6$ см.
- Катет $B_1A$ — это диагональ грани (прямоугольника) $ABB_1A_1$. Найдем её длину из прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$ (угол $\angle B = 90^\circ$):
$AB = 6$ см, $BB_1 = AA_1 = 6\sqrt{2}$ см.
По теореме Пифагора:
$B_1A^2 = AB^2 + BB_1^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 + 36 \cdot 2 = 36 + 72 = 108$.
$B_1A = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

6. В прямоугольном треугольнике $\triangle KB_1A$ найдем тангенс искомого угла $\angle KB_1A$:
$\tan(\angle KB_1A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{KA}{B_1A} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $30^\circ$.
Следовательно, $\angle KB_1A = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.