Номер 112, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Точка $M$ лежит вне плоскости правильного треугольника $ABC$, а наклонные $MA$, $MB$ и $MC$ образуют равные углы с плоскостью $ABC$. Докажите, что проекция точки $M$ на плоскость треугольника — центр этого треугольника.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. По определению проекции, отрезок $MH$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то есть $MH \perp (ABC)$.

Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются наклонными к плоскости $ABC$, а отрезки $HA$, $HB$ и $HC$ — их проекциями на эту плоскость.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию задачи, наклонные $MA$, $MB$ и $MC$ образуют равные углы с плоскостью $ABC$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Следовательно, $\angle MAH = \angle MBH = \angle MCH = \alpha$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MHA$, $\triangle MHB$ и $\triangle MHC$. Поскольку $MH$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $H$. Значит, $\angle MHA = \angle MHB = \angle MHC = 90^\circ$. Таким образом, все три треугольника являются прямоугольными.

Сравним эти прямоугольные треугольники. У них есть:
1. Общий катет $MH$.
2. Равные острые углы: $\angle MAH = \angle MBH = \angle MCH = \alpha$.

Прямоугольные треугольники, имеющие равный катет и равный противолежащий этому катету острый угол, равны. Следовательно, $\triangle MHA \cong \triangle MHB \cong \triangle MHC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны катеты $HA$, $HB$ и $HC$:$HA = HB = HC$.

Это означает, что точка $H$ в плоскости треугольника $ABC$ равноудалена от всех его вершин $A$, $B$ и $C$. Точка в плоскости треугольника, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около него окружности.

По условию, треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний). В правильном треугольнике центр описанной окружности, центр вписанной окружности, точка пересечения медиан (центроид) и точка пересечения высот (ортоцентр) совпадают и называются центром треугольника.

Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость треугольника, точка $H$, является центром правильного треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Проекция точки $M$ на плоскость правильного треугольника $ABC$ равноудалена от его вершин, а значит, является центром этого треугольника.