Номер 114, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Точка $K$ находится на расстоянии 6 см от плоскости $ \alpha $. Наклонные $KA$ и $KB$ образуют с плоскостью $ \alpha $ углы $45^\circ$ и $30^\circ$, а угол между проекциями наклонных равен $135^\circ$. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$.

Пусть H - проекция точки K на плоскость α. Тогда KH - перпендикуляр к плоскости α, и его длина равна расстоянию от точки K до плоскости, то есть $KH = 6$ см. Отрезки HA и HB являются проекциями наклонных KA и KB на плоскость α соответственно. Треугольники KHA и KHB являются прямоугольными с прямым углом при вершине H.

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.Следовательно, $\angle KAH = 45^\circ$ и $\angle KBH = 30^\circ$.Угол между проекциями наклонных равен $\angle AHB = 135^\circ$.

1. Найдем длину проекции HA.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KHA. Катет KH, противолежащий углу $\angle KAH$, равен 6 см. Катет HA является прилежащим к этому углу.Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$tg(\angle KAH) = \frac{KH}{HA}$$tg(45^\circ) = \frac{6}{HA}$Так как $tg(45^\circ) = 1$, получаем:$1 = \frac{6}{HA}$Отсюда $HA = 6$ см.

2. Найдем длину проекции HB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KHB. Катет KH, противолежащий углу $\angle KBH$, равен 6 см. Катет HB является прилежащим к этому углу.$tg(\angle KBH) = \frac{KH}{HB}$$tg(30^\circ) = \frac{6}{HB}$Так как $tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$), получаем:$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{HB}$Отсюда $HB = 6\sqrt{3}$ см.

3. Найдем расстояние AB.

Рассмотрим треугольник AHB, лежащий в плоскости α. Мы знаем длины двух его сторон $HA = 6$ см, $HB = 6\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle AHB = 135^\circ$.Для нахождения длины третьей стороны AB воспользуемся теоремой косинусов:$AB^2 = HA^2 + HB^2 - 2 \cdot HA \cdot HB \cdot \cos(\angle AHB)$Подставим известные значения:$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos(135^\circ)$Вычислим значения:$6^2 = 36$$(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Подставим в формулу:$AB^2 = 36 + 108 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$AB^2 = 144 - 72\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$AB^2 = 144 + 36\sqrt{6}$Теперь найдем AB:$AB = \sqrt{144 + 36\sqrt{6}}$Вынесем общий множитель 36 из-под корня:$AB = \sqrt{36(4 + \sqrt{6})} = 6\sqrt{4 + \sqrt{6}}$ см.

Ответ: $6\sqrt{4 + \sqrt{6}}$ см.