Номер 120, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Плоскость $\gamma$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $a$ и $b$, удалённым от ребра двугранного угла на 13 см и 20 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\gamma$, если расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 21 см.

Пусть $l$ — ребро двугранного угла, а его грани — $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Плоскость $\gamma$ пересекает грань $\alpha_1$ по прямой $a$, а грань $\alpha_2$ по прямой $b$. По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны. Поскольку $a \subset \alpha_1$, $b \subset \alpha_2$ и $a \parallel b$, то ребро $l$ двугранного угла параллельно плоскости $\gamma$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, перпендикулярную ребру $l$. Пусть она пересекает $l$ в точке $O$. Так как $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то плоскость $\Pi$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$. Пусть $\Pi$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно.

В этой плоскости $\Pi$ мы получаем треугольник $OAB$. Длины его сторон определяются из условий задачи:

• Расстояние от прямой $a$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OA$. По условию, $OA = 13$ см.
• Расстояние от прямой $b$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OB$. По условию, $OB = 20$ см.
• Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ — это длина отрезка $AB$. По условию, $AB = 21$ см.

Искомое расстояние от ребра $l$ до плоскости $\gamma$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $AB$ в плоскости $\Pi$. Это высота $h$, проведенная из вершины $O$ к стороне $AB$ в треугольнике $OAB$.

Для нахождения высоты $h$ сначала вычислим площадь треугольника $OAB$ по формуле Герона. Найдем полупериметр $s$:

$s = \frac{OA + OB + AB}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $OAB$:

$S = \sqrt{s(s-OA)(s-OB)(s-AB)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$

$S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49}$

$S = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$

Подставим известные значения и найдем высоту $h$:

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$

$h = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Таким образом, расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\gamma$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.