Номер 122, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. На рисунке 63 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $AB_1 C_1$.

Рис. 63

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке, причем один перпендикуляр лежит в одной плоскости, а другой — в другой. Этот угол также называют линейным углом двугранного угла.

1. Найдём линию пересечения плоскостей.
Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания куба, то есть плоскость $(ABCD)$.
Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$. В кубе ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$, которое лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $B_1C_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.
По свойству, если плоскость $(AB_1C_1)$ проходит через прямую $B_1C_1$, параллельную другой плоскости $(ABC)$, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна прямой $B_1C_1$.
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на линии их пересечения. Таким образом, линия пересечения проходит через точку $A$ и параллельна $B_1C_1$. В основании куба такой прямой является ребро $AD$.
Итак, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$ — это прямая $AD$.

2. Построим линейный угол.
Для нахождения угла между плоскостями нам нужно найти угол между двумя лучами, выходящими из одной точки на линии пересечения $AD$, перпендикулярными ей и лежащими в разных плоскостях. Возьмём точку $A$.

• В плоскости основания $(ABC)$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат). Таким образом, $AB \perp AD$.
• Прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости грани $(ABB_1A_1)$, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($AB$ и $AA_1$). Следовательно, $AD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$ и проходит через точку $A$, значит, $AB_1 \perp AD$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $AB_1$, то есть $\angle B_1AB$.

3. Вычислим величину угла.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Он является прямоугольным, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ и, следовательно, перпендикулярно прямой $AB$, лежащей в этой плоскости ($\angle ABB_1 = 90^\circ$).
Катеты этого треугольника, $AB$ и $BB_1$, являются рёбрами куба, поэтому они равны: $AB = BB_1$.
Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$.
Значит, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$