Номер 123, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Через сторону $AB$ треугольника $ABC$ проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $45^\circ$. Найдите расстояние от вершины $C$ до этой плоскости, если $AB = 14$ см, $BC = 13$ см, $AC = 15$ см.

Пусть $\alpha$ — это плоскость, проведенная через сторону $AB$ треугольника $ABC$, а плоскость самого треугольника обозначим как $\beta$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ по условию равен $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Искомое расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр как $CK$, где точка $K$ лежит в плоскости $\alpha$.

Для решения задачи воспользуемся определением угла между плоскостями. Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения. Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Таким образом, $CH \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $CKH$. Так как $CK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $CK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HK$. Следовательно, треугольник $CKH$ — прямоугольный ($\angle CKH = 90^\circ$). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH$ перпендикулярна $AB$, то и ее проекция $HK$ на плоскость $\alpha$ также перпендикулярна $AB$. Таким образом, угол $\angle CHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По условию, $\angle CHK = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $CKH$ мы можем выразить искомое расстояние $CK$:
$CK = CH \cdot \sin(\angle CHK) = CH \cdot \sin(45^\circ)$

Таким образом, задача сводится к нахождению длины высоты $CH$ треугольника $ABC$. Для этого сначала найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны: $a = BC = 13$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 14$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

3. Найдем высоту $CH$, проведенную к стороне $AB$:
Площадь треугольника также равна $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Отсюда:
$CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

4. Найдем искомое расстояние $CK$:
Теперь, зная $CH$, мы можем найти расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$:
$CK = CH \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.