Номер 130, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Точка $M$ равноудалена от вершин правильного шестиугольника $ABCDEF$. Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $\alpha$. Найдите угол между плоскостями $MAB$ и $ABC$.

Пусть $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин шестиугольника ($MA = MB = MC = ...$), ее проекция на плоскость шестиугольника совпадает с центром описанной окружности, то есть с точкой $O$. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ - это угол между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $MA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OA$. Следовательно, по условию, угол $\angle MAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$, так как $MO \perp ABC$). В этом треугольнике $MO = OA \cdot \tan(\alpha)$.

Угол между плоскостями $MAB$ и $ABC$ - это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линия пересечения этих плоскостей - прямая $AB$. Построим линейный угол.

Пусть $H$ - середина стороны $AB$. В плоскости $ABC$ рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Так как шестиугольник правильный, то $\triangle OAB$ является равносторонним. Обозначим сторону шестиугольника за $a$, тогда $OA = OB = AB = a$. Отрезок $OH$ является медианой и высотой в равностороннем треугольнике $\triangle OAB$, поэтому $OH \perp AB$. Длина высоты $OH$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $OH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В плоскости $MAB$ рассмотрим треугольник $\triangle MAB$. Так как $MA = MB$, этот треугольник является равнобедренным. Отрезок $MH$, будучи медианой, проведенной к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MH \perp AB$.

Мы построили две прямые $OH$ и $MH$, перпендикулярные линии пересечения плоскостей $AB$ в одной точке $H$. Значит, угол $\angle MHO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $MAB$ и $ABC$. Обозначим этот угол как $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOH$ (угол $\angle MOH = 90^\circ$). Мы можем найти тангенс угла $\beta$:$\tan(\beta) = \frac{MO}{OH}$

Мы уже выразили $MO$ и $OH$ через сторону $a$ и угол $\alpha$:$MO = OA \cdot \tan(\alpha) = a \cdot \tan(\alpha)$$OH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти выражения в формулу для тангенса:$\tan(\beta) = \frac{a \cdot \tan(\alpha)}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \tan(\alpha)}{\sqrt{3}}$

Отсюда искомый угол $\beta$ равен:$\beta = \arctan\left(\frac{2 \tan(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)$

Ответ: $\arctan\left(\frac{2 \tan(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)$