Номер 134, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Точка $S$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$. Точка $O$ — её проекция на плоскость квадрата. Из точки $S$ проведён перпендикуляр $SM$ к стороне $AB$ квадрата. Докажите, что плоскости $ASB$ и $OSM$ перпендикулярны.

По условию, точка $S$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$, то есть $SA = SB = SC = SD$. Точка $O$ является проекцией точки $S$ на плоскость квадрата, следовательно, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости $(ABCD)$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC$ и $\triangle SOD$. В этих треугольниках катет $SO$ является общим, а гипотенузы $SA, SB, SC, SD$ равны по условию. Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$. Точка в плоскости квадрата, равноудаленная от всех его вершин, является центром квадрата — точкой пересечения его диагоналей. Таким образом, $O$ — центр квадрата $ABCD$.

Рассмотрим прямую $AB$, лежащую в плоскости квадрата. $SO$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SM$ — наклонная к этой плоскости, а $OM$ — её проекция на плоскость $(ABCD)$. По условию, перпендикуляр $SM$ проведен к стороне $AB$, то есть $SM \perp AB$.

По теореме о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. Так как $AB \perp SM$, то $AB \perp OM$.

Теперь у нас есть две пересекающиеся прямые $SM$ и $OM$ в плоскости $(OSM)$, и обе они перпендикулярны прямой $AB$:
1. $AB \perp SM$ (по условию).
2. $AB \perp OM$ (по доказанному).
Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(OSM)$, то есть $AB \perp (OSM)$.

Прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ASB)$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Так как плоскость $(ASB)$ проходит через прямую $AB$, перпендикулярную плоскости $(OSM)$, то плоскости $(ASB)$ и $(OSM)$ перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.