Номер 136, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Перпендикулярные плоскости. Вариант 2. Упражнения - номер 136, страница 53.
№136 (с. 53)
Условие. №136 (с. 53)
скриншот условия

136. Концы отрезка лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Проекции отрезка на данные плоскости равны 20 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения плоскостей, равно 12 см. Найдите длину данного отрезка.
Решение. №136 (с. 53)

Решение 2. №136 (с. 53)
Решение:
Давайте введем систему координат для решения этой задачи. Пусть две перпендикулярные плоскости будут плоскостями $OXY$ и $OXZ$. Их линия пересечения — это ось $OX$.
Пусть отрезок, длину которого нам нужно найти, это отрезок $AB$. По условию, его концы лежат в этих плоскостях. Пусть точка $A$ лежит в плоскости $OXY$, а точка $B$ — в плоскости $OXZ$.
Тогда координаты этих точек можно записать в общем виде:
- $A = (x_A, y_A, 0)$
- $B = (x_B, 0, z_B)$
Длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (z_B - 0)^2} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2}$
Теперь воспользуемся данными из условия задачи, чтобы найти значения компонент этой формулы.
1. Проекция отрезка на плоскость $OXY$.
Точка $A$ уже лежит в этой плоскости, поэтому ее проекция — это она сама. Проекцией точки $B(x_B, 0, z_B)$ на плоскость $OXY$ будет точка $B'(x_B, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXY$ является отрезок $AB'$. Длина этого отрезка по условию равна 20 см.
$AB'^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (0 - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2$
Получаем первое уравнение:
$(x_B - x_A)^2 + y_A^2 = 20^2 = 400$
2. Проекция отрезка на плоскость $OXZ$.
Точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Проекцией точки $A(x_A, y_A, 0)$ на плоскость $OXZ$ будет точка $A'(x_A, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXZ$ является отрезок $A'B$. Длина этого отрезка по условию равна 16 см.
$A'B^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (z_B - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + z_B^2$
Получаем второе уравнение:
$(x_B - x_A)^2 + z_B^2 = 16^2 = 256$
3. Расстояние между основаниями перпендикуляров.
Основание перпендикуляра, проведенного из точки $A(x_A, y_A, 0)$ к линии пересечения плоскостей (оси $OX$), — это точка $A_{ox}(x_A, 0, 0)$.
Основание перпендикуляра, проведенного из точки $B(x_B, 0, z_B)$ к оси $OX$, — это точка $B_{ox}(x_B, 0, 0)$.
Расстояние между этими основаниями по условию равно 12 см.
$A_{ox}B_{ox} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |x_B - x_A|$
Получаем третье соотношение:
$(x_B - x_A)^2 = 12^2 = 144$
Теперь мы можем найти неизвестные компоненты $y_A^2$ и $z_B^2$, подставив значение $(x_B - x_A)^2 = 144$ в уравнения (1) и (2):
Из уравнения (1):
$144 + y_A^2 = 400$
$y_A^2 = 400 - 144 = 256$
Из уравнения (2):
$144 + z_B^2 = 256$
$z_B^2 = 256 - 144 = 112$
Наконец, найдем квадрат длины отрезка $AB$, подставив все найденные значения:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2 = 144 + 256 + 112 = 512$
Теперь найдем саму длину отрезка $AB$:
$AB = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$ см.
Ответ: $16\sqrt{2}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 136 расположенного на странице 53 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №136 (с. 53), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.