Номер 136, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Перпендикулярные плоскости - номер 136, страница 53.

Условие.

136. Концы отрезка лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Проекции отрезка на данные плоскости равны 20 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения плоскостей, равно 12 см. Найдите длину данного отрезка.

Решение.

Решение 2.

Решение:

Давайте введем систему координат для решения этой задачи. Пусть две перпендикулярные плоскости будут плоскостями $OXY$ и $OXZ$. Их линия пересечения — это ось $OX$.

Пусть отрезок, длину которого нам нужно найти, это отрезок $AB$. По условию, его концы лежат в этих плоскостях. Пусть точка $A$ лежит в плоскости $OXY$, а точка $B$ — в плоскости $OXZ$.

Тогда координаты этих точек можно записать в общем виде:

• $A = (x_A, y_A, 0)$
• $B = (x_B, 0, z_B)$

Длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (z_B - 0)^2} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2}$

Теперь воспользуемся данными из условия задачи, чтобы найти значения компонент этой формулы.

1. Проекция отрезка на плоскость $OXY$.

Точка $A$ уже лежит в этой плоскости, поэтому ее проекция — это она сама. Проекцией точки $B(x_B, 0, z_B)$ на плоскость $OXY$ будет точка $B'(x_B, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXY$ является отрезок $AB'$. Длина этого отрезка по условию равна 20 см.

$AB'^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (0 - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2$

Получаем первое уравнение:

$(x_B - x_A)^2 + y_A^2 = 20^2 = 400$

2. Проекция отрезка на плоскость $OXZ$.

Точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Проекцией точки $A(x_A, y_A, 0)$ на плоскость $OXZ$ будет точка $A'(x_A, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXZ$ является отрезок $A'B$. Длина этого отрезка по условию равна 16 см.

$A'B^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (z_B - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + z_B^2$

Получаем второе уравнение:

$(x_B - x_A)^2 + z_B^2 = 16^2 = 256$

3. Расстояние между основаниями перпендикуляров.

Основание перпендикуляра, проведенного из точки $A(x_A, y_A, 0)$ к линии пересечения плоскостей (оси $OX$), — это точка $A_{ox}(x_A, 0, 0)$.

Основание перпендикуляра, проведенного из точки $B(x_B, 0, z_B)$ к оси $OX$, — это точка $B_{ox}(x_B, 0, 0)$.

Расстояние между этими основаниями по условию равно 12 см.

$A_{ox}B_{ox} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |x_B - x_A|$

Получаем третье соотношение:

$(x_B - x_A)^2 = 12^2 = 144$

Теперь мы можем найти неизвестные компоненты $y_A^2$ и $z_B^2$, подставив значение $(x_B - x_A)^2 = 144$ в уравнения (1) и (2):

Из уравнения (1):

$144 + y_A^2 = 400$

$y_A^2 = 400 - 144 = 256$

Из уравнения (2):

$144 + z_B^2 = 256$

$z_B^2 = 256 - 144 = 112$

Наконец, найдем квадрат длины отрезка $AB$, подставив все найденные значения:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2 = 144 + 256 + 112 = 512$

Теперь найдем саму длину отрезка $AB$:

$AB = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$ см.

Ответ: $16\sqrt{2}$ см.