Номер 142, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Площадь ортогональной проекции многоугольника - номер 142, страница 54.

Условие.

142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1 B_1 C_1$ такой, что катет $A_1 C_1$ равен 30 см, медиана, проведённая к гипотенузе $A_1 B_1$, — 17 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $160\sqrt{3}$ см².

Решение.

Решение 2.

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_{A_1B_1C_1}$ — площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$. Угол между плоскостями этих треугольников обозначим как $\alpha$. Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью исходной фигуры формулой:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда мы можем выразить косинус искомого угла:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 160\sqrt{3}$ см². Нам нужно найти площадь проекции — прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$.

В прямоугольном треугольнике $A_1B_1C_1$ (предположим, $\angle C_1 = 90^\circ$):

1. Дан катет $A_1C_1 = 30$ см.
2. Дана медиана, проведённая к гипотенузе $A_1B_1$, которая равна 17 см.

По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, длина гипотенузы $A_1B_1$ равна:

$A_1B_1 = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Теперь, зная гипотенузу и один катет, найдём второй катет $B_1C_1$ по теореме Пифагора:

$(A_1B_1)^2 = (A_1C_1)^2 + (B_1C_1)^2$

$(B_1C_1)^2 = (A_1B_1)^2 - (A_1C_1)^2 = 34^2 - 30^2$

Используем формулу разности квадратов:

$(B_1C_1)^2 = (34 - 30)(34 + 30) = 4 \cdot 64 = 256$

$B_1C_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$ как половину произведения его катетов:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240$ см².

Подставим найденные значения площадей в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{240}{160\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.