Номер 142, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Площадь ортогональной проекции многоугольника. Вариант 2. Упражнения - номер 142, страница 54.
№142 (с. 54)
Условие. №142 (с. 54)
скриншот условия

142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1 B_1 C_1$ такой, что катет $A_1 C_1$ равен 30 см, медиана, проведённая к гипотенузе $A_1 B_1$, — 17 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $160\sqrt{3}$ см2.
Решение. №142 (с. 54)

Решение 2. №142 (с. 54)
Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_{A_1B_1C_1}$ — площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$. Угол между плоскостями этих треугольников обозначим как $\alpha$. Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью исходной фигуры формулой:
$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$
Отсюда мы можем выразить косинус искомого угла:
$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$
По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 160\sqrt{3}$ см². Нам нужно найти площадь проекции — прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$.
В прямоугольном треугольнике $A_1B_1C_1$ (предположим, $\angle C_1 = 90^\circ$):
- Дан катет $A_1C_1 = 30$ см.
- Дана медиана, проведённая к гипотенузе $A_1B_1$, которая равна 17 см.
По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, длина гипотенузы $A_1B_1$ равна:
$A_1B_1 = 2 \cdot 17 = 34$ см.
Теперь, зная гипотенузу и один катет, найдём второй катет $B_1C_1$ по теореме Пифагора:
$(A_1B_1)^2 = (A_1C_1)^2 + (B_1C_1)^2$
$(B_1C_1)^2 = (A_1B_1)^2 - (A_1C_1)^2 = 34^2 - 30^2$
Используем формулу разности квадратов:
$(B_1C_1)^2 = (34 - 30)(34 + 30) = 4 \cdot 64 = 256$
$B_1C_1 = \sqrt{256} = 16$ см.
Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$ как половину произведения его катетов:
$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240$ см².
Подставим найденные значения площадей в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{240}{160\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$
Ответ: $30^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 142 расположенного на странице 54 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №142 (с. 54), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.