Страница 54 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Площадь многоугольника равна $24 \text{ см}^2$, а площадь его ортогональной проекции — $16 \text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Площадь ортогональной проекции ($S_{пр}$) плоского многоугольника на плоскость связана с его собственной площадью ($S$) и углом ($\alpha$) между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Эта связь выражается формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

В данной задаче известны следующие величины:

• Площадь многоугольника $S = 24 \text{ см}^2$
• Площадь его ортогональной проекции $S_{пр} = 16 \text{ см}^2$

Чтобы найти угол $\alpha$, выразим косинус угла из формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\cos(\alpha) = \frac{16}{24}$

Сократим полученную дробь на 8:

$\cos(\alpha) = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$

Угол $\alpha$ можно найти, взяв арккосинус от полученного значения:

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$

142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1 B_1 C_1$ такой, что катет $A_1 C_1$ равен 30 см, медиана, проведённая к гипотенузе $A_1 B_1$, — 17 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $160\sqrt{3}$ см².

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_{A_1B_1C_1}$ — площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$. Угол между плоскостями этих треугольников обозначим как $\alpha$. Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью исходной фигуры формулой:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда мы можем выразить косинус искомого угла:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 160\sqrt{3}$ см². Нам нужно найти площадь проекции — прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$.

В прямоугольном треугольнике $A_1B_1C_1$ (предположим, $\angle C_1 = 90^\circ$):

1. Дан катет $A_1C_1 = 30$ см.
2. Дана медиана, проведённая к гипотенузе $A_1B_1$, которая равна 17 см.

По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, длина гипотенузы $A_1B_1$ равна:

$A_1B_1 = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Теперь, зная гипотенузу и один катет, найдём второй катет $B_1C_1$ по теореме Пифагора:

$(A_1B_1)^2 = (A_1C_1)^2 + (B_1C_1)^2$

$(B_1C_1)^2 = (A_1B_1)^2 - (A_1C_1)^2 = 34^2 - 30^2$

Используем формулу разности квадратов:

$(B_1C_1)^2 = (34 - 30)(34 + 30) = 4 \cdot 64 = 256$

$B_1C_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$ как половину произведения его катетов:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240$ см².

Подставим найденные значения площадей в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{240}{160\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

143. Площадь четырёхугольника равна $56\sqrt{2}$ см$^2$. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является ромб, одна из диагоналей которого равна 14 см. Найдите вторую диагональ ромба, если угол между плоскостью данного четырёхугольника и плоскостью его проекции равен $45^\circ$.

Пусть $S$ - площадь исходного четырёхугольника, а $S_{пр}$ - площадь его ортогональной проекции (ромба). Угол между плоскостью четырёхугольника и плоскостью проекции обозначим как $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции фигуры ($S_{пр}$) связана с площадью исходной фигуры ($S$) и углом между их плоскостями ($\alpha$) по формуле:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

По условию задачи даны: $S = 56\sqrt{2}$ см² и $\alpha = 45°$.
Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь проекции, которая является ромбом:
$S_{пр} = 56\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{56 \cdot 2}{2} = 56$ см².

Площадь ромба вычисляется через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле:
$S_{пр} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Нам известна площадь ромба $S_{пр} = 56$ см² и одна из его диагоналей $d_1 = 14$ см. Найдём вторую диагональ $d_2$:
$56 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot d_2$
$56 = 7 \cdot d_2$
$d_2 = \frac{56}{7}$
$d_2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

144. Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна 22,5 $см^2$. Он является ортогональной проекцией треугольника $ABC$ со сторонами 6 см, 10 см и 14 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры ($S_{пр}$) на плоскость связана с площадью исходной фигуры ($S$) формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$.Из этой формулы можно выразить косинус угла:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$.

В нашем случае $S_{пр}$ — это площадь треугольника $A_1B_1C_1$, которая по условию равна $22,5$ см². $S$ — это площадь треугольника $ABC$.Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны: $a=6$ см, $b=10$ см, $c=14$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника $ABC$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1}$.
$S = \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot 9 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см².

3. Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между плоскостями:
$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{22,5}{15\sqrt{3}}$.
Упростим выражение:
$\cos(\alpha) = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Найдем угол $\alpha$:
Если $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то, поскольку угол между плоскостями находится в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$, $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$.
Ответ: $30^{\circ}$.

145. Площадь трапеции равна 72 см$^2$, а её ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 8 см, диагонали которой перпендикулярны. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции.

Пусть $S$ — площадь данной трапеции, а $S_{пр}$ — площадь её ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ обозначим через $\varphi$.

Площадь ортогональной проекции многоугольника связана с площадью самого многоугольника формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$

Из этой формулы можно выразить косинус искомого угла:

$\cos(\varphi) = \frac{S_{пр}}{S}$

По условию задачи, площадь исходной трапеции $S = 72$ см$^2$. Чтобы найти угол $\varphi$, нам необходимо вычислить площадь её проекции $S_{пр}$.

Проекцией является равнобокая трапеция с основаниями $a = 4$ см и $b = 8$ см. По условию, её диагонали перпендикулярны.

Найдем площадь этой трапеции. Для равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота $h$ равна полусумме её оснований. Это свойство можно доказать, рассмотрев точку пересечения диагоналей. Она делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника (с основаниями трапеции в качестве гипотенуз) и два равных прямоугольных треугольника. Высота трапеции будет суммой высот (они же и медианы), проведенных из вершины прямого угла к гипотенузам в равнобедренных прямоугольных треугольниках. Высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом:

$h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Подставим значения оснований трапеции-проекции:

$h = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь проекции по стандартной формуле площади трапеции:

$S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{4+8}{2} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$ см$^2$.

Зная площади исходной трапеции и её проекции, мы можем найти косинус угла между их плоскостями:

$\cos(\varphi) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

Угол $\varphi$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Призма

146. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей: 1) 14 граней; 2) 9 рёбер?

1)

Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У такой призмы есть 2 основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней. Общее число граней призмы $Г$ вычисляется по формуле: $Г = n + 2$

По условию задачи, призма имеет 14 граней. Подставим это значение в формулу: $14 = n + 2$

Решим уравнение, чтобы найти количество сторон $n$ многоугольника в основании: $n = 14 - 2$ $n = 12$

Таким образом, в основании призмы лежит многоугольник с 12 сторонами, то есть двенадцатиугольник.

Ответ: двенадцатиугольник.

2)

Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У такой призмы есть $n$ рёбер в нижнем основании, $n$ рёбер в верхнем основании и $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины оснований. Общее число рёбер призмы $Р$ вычисляется по формуле: $Р = 3n$

По условию задачи, призма имеет 9 рёбер. Подставим это значение в формулу: $9 = 3n$

Решим уравнение, чтобы найти количество сторон $n$ многоугольника в основании: $n = 9 / 3$ $n = 3$

Таким образом, в основании призмы лежит многоугольник с 3 сторонами, то есть треугольник.

Ответ: треугольник.

147. Существует ли призма, имеющая 22 ребра?

Для того чтобы определить, может ли существовать призма с 22 ребрами, необходимо рассмотреть, как формируется количество ребер у любой призмы.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами). У такого многоугольника $n$ вершин и $n$ сторон.

Призма имеет два основания: верхнее и нижнее. Каждое основание представляет собой n-угольник и имеет $n$ ребер.

Таким образом, общее количество ребер у двух оснований равно $n + n = 2n$.

Кроме ребер оснований, призма имеет боковые ребра, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Количество боковых ребер равно количеству вершин в основании, то есть $n$.

Следовательно, общее количество ребер $E$ у n-угольной призмы вычисляется по формуле:

$E = (\text{ребра нижнего основания}) + (\text{ребра верхнего основания}) + (\text{боковые ребра})$

$E = n + n + n = 3n$

Таким образом, общее количество ребер любой призмы всегда кратно 3.

В условии задачи дано, что призма имеет 22 ребра. Проверим, возможно ли это, используя полученную формулу:

$3n = 22$

Чтобы найти $n$ (количество сторон многоугольника в основании), решим это уравнение:

$n = \frac{22}{3}$

$n = 7\frac{1}{3}$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым числом (и, как правило, $n \ge 3$). Поскольку мы получили дробное число $7\frac{1}{3}$, это означает, что не существует многоугольника, который мог бы быть основанием призмы с 22 ребрами.

Другими словами, число 22 не делится нацело на 3, а количество ребер в призме всегда должно быть кратно трем.

Ответ: Нет, такой призмы не существует.

148. Основанием прямой призмы является квадрат со стороной 4 см. Найдите диагональ призмы, если её боковое ребро равно 7 см.

Пусть дана прямая призма, основанием которой является квадрат со стороной $a = 4$ см. Боковое ребро призмы, равное ее высоте, составляет $h = 7$ см. Необходимо найти диагональ призмы $D$.

Диагональ прямой призмы, ее проекция на основание (которая является диагональю основания) и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Квадрат диагонали призмы равен сумме квадрата диагонали основания ($d$) и квадрата бокового ребра (высоты $h$).

Формула для нахождения диагонали призмы: $D^2 = d^2 + h^2$.

1. Найдем диагональ основания. Основание — это квадрат со стороной $a=4$ см. Диагональ квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $d^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

2. Теперь, зная квадрат диагонали основания ($d^2 = 32$) и высоту призмы ($h = 7$ см), мы можем найти квадрат диагонали призмы: $D^2 = d^2 + h^2 = 32 + 7^2$ $D^2 = 32 + 49$ $D^2 = 81$

3. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали призмы: $D = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

149. Основанием прямой призмы является ромб. Найдите сторону основания призмы, если диагонали призмы равны 8 см и 12 см, а высота — 4 см.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит ромб. Обозначим диагонали призмы как $D_1$ и $D_2$, диагонали ромба (основания) как $d_1$ и $d_2$, высоту призмы как $h$, а сторону ромба как $a$.

По условию задачи имеем:

$D_1 = 12$ см

$D_2 = 8$ см

$h = 4$ см

Диагональ призмы, диагональ основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник, где диагональ призмы является гипотенузой, а диагональ основания и высота — катетами. По теореме Пифагора, квадрат диагонали призмы равен сумме квадратов диагонали основания и высоты призмы:

$D^2 = d^2 + h^2$

Из этой формулы мы можем найти квадраты диагоналей ромба:

$d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$

$d_2^2 = D_2^2 - h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$

Теперь найдем длины диагоналей ромба:

$d_1 = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см

$d_2 = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей ромба. Снова применим теорему Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим найденные значения $d_1$ и $d_2$:

$a^2 = \left(\frac{8\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{3}}{2}\right)^2 = (4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2$

$a^2 = (16 \cdot 2) + (4 \cdot 3) = 32 + 12 = 44$

Теперь найдем сторону основания $a$:

$a = \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$ см

Ответ: $2\sqrt{11}$ см.