gdz.top
Номер 144, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Площадь ортогональной проекции многоугольника - номер 144, страница 54.
№143
№144 (с. 54)
Условие. №144 (с. 54)
144. Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна 22,5 $см^2$. Он является ортогональной проекцией треугольника $ABC$ со сторонами 6 см, 10 см и 14 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Решение. №144 (с. 54)
Решение 2. №144 (с. 54)
Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры ($S_{пр}$) на плоскость связана с площадью исходной фигуры ($S$) формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$.Из этой формулы можно выразить косинус угла:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$.
В нашем случае $S_{пр}$ — это площадь треугольника $A_1B_1C_1$, которая по условию равна $22,5$ см². $S$ — это площадь треугольника $ABC$.Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны: $a=6$ см, $b=10$ см, $c=14$ см.
1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника $ABC$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1}$.
$S = \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot 9 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см².
3. Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между плоскостями:
$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{22,5}{15\sqrt{3}}$.
Упростим выражение:
$\cos(\alpha) = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Найдем угол $\alpha$:
Если $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то, поскольку угол между плоскостями находится в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$, $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$.
Ответ: $30^{\circ}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 144 расположенного на странице 54 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №144 (с. 54), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.