Номер 151, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Призма. Вариант 2. Упражнения - номер 151, страница 55.
№151 (с. 55)
Условие. №151 (с. 55)
скриншот условия

151. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 18 см, а диагональ призмы образует с плоскостью её основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью.
Решение. №151 (с. 55)

Решение 2. №151 (с. 55)
Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а боковые рёбра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основанию. Высота призмы $h = AA_1 = 18$ см.
Найдите сторону основания призмы
Диагональ призмы, например $AC_1$, образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $60^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_1C$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Катет $CC_1$ равен высоте призмы, т.е. $CC_1 = 18$ см. Катет $AC$ — диагональ квадрата в основании.
Используя тангенс угла, найдём длину диагонали основания $AC$: $ \tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} $
$ \tan(60^\circ) = \frac{18}{AC} $
$ \sqrt{3} = \frac{18}{AC} $
$ AC = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} $ см.
Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $d = AC$.
$ 6\sqrt{3} = a\sqrt{2} $
$ a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6} $ см.
Ответ: $3\sqrt{6}$ см.
Найдите угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью
Найдём угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью боковой грани, например, $BCC_1B_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Поскольку призма правильная, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$). Следовательно, проекцией точки $A$ на эту плоскость является точка $B$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $BCC_1B_1$ будет отрезок $BC_1$.
Искомый угол — это угол $\beta = \angle AC_1B$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1B_1$, то оно перпендикулярно и прямой $BC_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle ABC_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ABC_1$.
В этом треугольнике катет $AB$ — это сторона основания, $AB = a = 3\sqrt{6}$ см.
Найдём длину гипотенузы $AC_1$ (диагонали призмы) из треугольника $\triangle AC_1C$: $ \sin(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC_1} $
$ \sin(60^\circ) = \frac{18}{AC_1} $
$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18}{AC_1} $
$ AC_1 = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $ см.
Теперь найдём синус искомого угла $\beta$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$: $ \sin(\beta) = \frac{AB}{AC_1} = \frac{3\sqrt{6}}{12\sqrt{3}} $
Упростим выражение: $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $
Следовательно, искомый угол равен $ \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.
Ответ: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 151 расположенного на странице 55 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №151 (с. 55), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.