Номер 151, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Призма - номер 151, страница 55.

Условие.

151. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 18 см, а диагональ призмы образует с плоскостью её основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью.

Решение.

Решение 2.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а боковые рёбра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основанию. Высота призмы $h = AA_1 = 18$ см.

Найдите сторону основания призмы

Диагональ призмы, например $AC_1$, образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $60^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_1C$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Катет $CC_1$ равен высоте призмы, т.е. $CC_1 = 18$ см. Катет $AC$ — диагональ квадрата в основании.

Используя тангенс угла, найдём длину диагонали основания $AC$: $ \tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} $

$ \tan(60^\circ) = \frac{18}{AC} $

$ \sqrt{3} = \frac{18}{AC} $

$ AC = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} $ см.

Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $d = AC$.

$ 6\sqrt{3} = a\sqrt{2} $

$ a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6} $ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

Найдите угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью

Найдём угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью боковой грани, например, $BCC_1B_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Поскольку призма правильная, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$). Следовательно, проекцией точки $A$ на эту плоскость является точка $B$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $BCC_1B_1$ будет отрезок $BC_1$.

Искомый угол — это угол $\beta = \angle AC_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1B_1$, то оно перпендикулярно и прямой $BC_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle ABC_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ABC_1$.

В этом треугольнике катет $AB$ — это сторона основания, $AB = a = 3\sqrt{6}$ см.

Найдём длину гипотенузы $AC_1$ (диагонали призмы) из треугольника $\triangle AC_1C$: $ \sin(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC_1} $

$ \sin(60^\circ) = \frac{18}{AC_1} $

$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18}{AC_1} $

$ AC_1 = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $ см.

Теперь найдём синус искомого угла $\beta$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$: $ \sin(\beta) = \frac{AB}{AC_1} = \frac{3\sqrt{6}}{12\sqrt{3}} $

Упростим выражение: $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Следовательно, искомый угол равен $ \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.