Номер 156, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 6 см и 10 см и углом $120^\circ$. Площадь большего из диагональных сечений призмы равна $42 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть основанием прямой призмы является параллелограмм ABCD, где $AB = 6$ см, $AD = 10$ см, а угол $\angle BAD = 120^{\circ}$. Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

1. Нахождение диагоналей основания

В параллелограмме две диагонали. Найдем их длины, используя теорему косинусов.
Большая диагональ параллелограмма лежит напротив большего (тупого) угла. В нашем случае это угол $120^{\circ}$. Найдем диагональ $d_1 = BD$.
По теореме косинусов для треугольника ABD:
$d_1^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^{\circ})$
$d_1^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2})$
$d_1^2 = 36 + 100 - 120 \cdot (-0.5)$
$d_1^2 = 136 + 60 = 196$
$d_1 = \sqrt{196} = 14$ см.
Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$, поэтому другой угол $\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Меньшая диагональ $d_2 = AC$ лежит напротив этого острого угла.
По теореме косинусов для треугольника ABC:
$d_2^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^{\circ})$
$d_2^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$
$d_2^2 = 36 + 100 - 60 = 76$
$d_2 = \sqrt{76}$ см.
Сравнивая диагонали, видим, что $14 > \sqrt{76}$, следовательно, большая диагональ равна 14 см.

2. Нахождение высоты призмы

Диагональное сечение призмы представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и высота призмы $H$. Площадь большего диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению большей диагонали основания $d_1$ на высоту призмы $H$.
$S_{сеч} = d_1 \cdot H$
По условию $S_{сеч} = 42 \text{ см}^2$.
$42 = 14 \cdot H$
Отсюда находим высоту призмы:
$H = \frac{42}{14} = 3$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр параллелограмма-основания равен:
$P_{осн} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 32 \cdot 3 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.