Номер 161, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Основанием прямой призмы является правильный треугольник, высота которого равна $4\sqrt{3}$ см. Через сторону основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $60^{\circ}$.

Пусть основанием прямой призмы является правильный треугольник. Обозначим его высоту как $h_{осн}$, по условию $h_{осн} = 4\sqrt{3}$ см.

Сначала найдем длину стороны основания $a$. Для правильного (равностороннего) треугольника формула высоты, проведенной к стороне, имеет вид:

$h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим известное значение высоты и выразим сторону $a$:

$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$4 = \frac{a}{2}$

$a = 8$ см.

Теперь вычислим площадь основания призмы $S_{осн}$, которая является площадью правильного треугольника:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

По условию, через сторону основания проведена плоскость, которая образует сечение. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что основание призмы является ортогональной проекцией построенного сечения на плоскость основания.

Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью его ортогональной проекции $S_{осн}$ и углом $\alpha$ между их плоскостями следующей формулой:

$S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить искомую площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

По условию задачи, угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью сечения равен $60^\circ$. Подставим все известные значения в формулу:

$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{\cos(60^\circ)}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{3}}{1/2} = 16\sqrt{3} \cdot 2 = 32\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32\sqrt{3}$ см².