Номер 168, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см. Боковое ребро $BB_1$ образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$, а проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1C_1C$.

Найдите площадь грани $AA_1C_1C$.

1. В основании наклонной призмы лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и основанием $AC = 10$ см. Проведем медиану $BM$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$.

2. Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. Из прямоугольного треугольника $ABM$ по теореме Пифагора найдем длину медианы $BM$:

$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки $B_1$ на плоскость основания, есть отрезок $B_1O$, который является высотой призмы $H$. Точка $O$ лежит на медиане $BM$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $B$. Найдем длину отрезка $BO$:

$BO = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

4. Угол между боковым ребром $BB_1$ и плоскостью основания — это угол между наклонной $BB_1$ и ее проекцией $BO$ на эту плоскость. По условию, $\angle B_1BO = 45^\circ$. Треугольник $B_1BO$ является прямоугольным, так как $B_1O \perp (ABC)$. Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник $B_1BO$ также и равнобедренный, откуда $B_1O = BO = 8$ см. Длину бокового ребра $BB_1$ найдем по теореме Пифагора:

$BB_1 = \sqrt{BO^2 + B_1O^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{2 \cdot 64} = 8\sqrt{2}$ см.

В призме все боковые ребра равны, значит $AA_1 = BB_1 = 8\sqrt{2}$ см.

5. Грань $AA_1C_1C$ — это параллелограмм со сторонами $AC=10$ см и $AA_1=8\sqrt{2}$ см. Для нахождения его площади определим, является ли он прямоугольником. Для этого нужно проверить, перпендикулярны ли его смежные стороны $AC$ и $AA_1$.

Ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$. Следовательно, достаточно проверить перпендикулярность $AC$ и $BB_1$. Применим теорему о трех перпендикулярах. $B_1O$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $BO$ — проекция наклонной $BB_1$ на эту плоскость. Мы знаем, что $BM \perp AC$, а так как точка $O$ лежит на $BM$, то и проекция $BO$ перпендикулярна прямой $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Значит, $BB_1 \perp AC$.

Поскольку $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \perp AC$, то и $AA_1 \perp AC$.

6. Так как смежные стороны параллелограмма $AA_1C_1C$ перпендикулярны, эта грань является прямоугольником. Ее площадь равна произведению длин сторон:

$S_{AA_1C_1C} = AC \cdot AA_1 = 10 \cdot 8\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.