Номер 174, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и углом $60^\circ$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 3 см.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб со стороной $a = 4$ см и острым углом $\alpha = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $h = 3$ см. Необходимо найти большую диагональ параллелепипеда $D_{большая}$.

1. Сначала найдем диагонали ромба. У ромба два угла равны $60^\circ$, а два других равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Большая диагональ ромба ($d_{большая}$) лежит напротив большего (тупого) угла, а меньшая ($d_{меньшая}$) — напротив меньшего (острого) угла.

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, образованных двумя сторонами ромба и одной из его диагоналей.

Для меньшей диагонали, лежащей напротив угла $60^\circ$:

$d_{меньшая}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$

$d_{меньшая}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 16 - 16 = 16$

$d_{меньшая} = \sqrt{16} = 4$ см.

Для большей диагонали, лежащей напротив угла $120^\circ$:

$d_{большая}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

$d_{большая}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 16 + 16 + 16 = 48$

$d_{большая} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем большую диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата его высоты и квадрата соответствующей диагонали основания. Чтобы найти большую диагональ параллелепипеда, нужно использовать большую диагональ основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются большая диагональ основания $d_{большая}$ и высота параллелепипеда $h$, а гипотенузой — большая диагональ параллелепипеда $D_{большая}$. По теореме Пифагора:

$D_{большая}^2 = d_{большая}^2 + h^2$

$D_{большая}^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 = 48 + 9 = 57$

$D_{большая} = \sqrt{57}$ см.

Ответ: $\sqrt{57}$ см.