Номер 181, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 24 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC со стороной $a = 24$ см. Пусть S – вершина пирамиды, а SO – ее высота, где O – центр основания.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это двугранный угол. Для нахождения его линейного угла проведем апофему SM (высоту боковой грани SBC), где M – середина стороны BC. В правильной пирамиде апофема перпендикулярна стороне основания, то есть $SM \perp BC$. В основании проведем отрезок OM. Так как O – центр правильного треугольника, то OM является частью высоты (и медианы) AM и также перпендикулярен стороне BC.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SBC и основанием ABC. По условию задачи, $\angle SMO = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90°$, так как SO – высота пирамиды). В этом треугольнике:
- катет $SO$ – искомая высота пирамиды $H$;
- катет $OM$ – радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник основания ABC;
- $\angle SMO = 30°$.

Сначала найдем длину катета $OM$. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Подставляя значение $a = 24$ см, получаем:$OM = r = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ найдем высоту $H = SO$. Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$Отсюда выражаем высоту $H$:$H = SO = OM \cdot \tan(30°)$Подставляем известные значения ($OM = 4\sqrt{3}$ см и $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):$H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Ответ: 4 см.