Номер 183, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а боковое ребро — 10 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании. Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 8$ см. Боковое ребро $SA = SB = SC = SD = 10$ см.

Диагональным сечением данной пирамиды является треугольник, проходящий через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания, например, $AC$. Таким образом, диагональное сечение — это треугольник $SAC$.

Найдём стороны треугольника $SAC$:
1. Боковые стороны сечения равны боковым рёбрам пирамиды: $SA = SC = 10$ см. Следовательно, треугольник $SAC$ — равнобедренный.
2. Основание сечения — диагональ квадрата $ABCD$. Найдём её длину по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ или по формуле диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAC$ нужно найти его высоту. Проведём высоту $SO$ из вершины $S$ к основанию $AC$. В правильной пирамиде высота проецируется в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, $SO$ — это и высота пирамиды, и высота треугольника $SAC$. Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + AO^2$.
Найдём высоту $SO$:
$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 10^2 - (4\sqrt{2})^2 = 100 - (16 \cdot 2) = 100 - 32 = 68$.
$SO = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.

Теперь вычислим площадь диагонального сечения (треугольника $SAC$) по формуле:
$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO$.
$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{17} = 8 \cdot \sqrt{2 \cdot 17} = 8\sqrt{34}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{34}$ см$^2$.