Номер 189, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 8 см, а высота — 4 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — это периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его сторона равна $a$.

1. Найдем сторону основания пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и половиной диагонали основания $(\frac{d}{2})$. По теореме Пифагора:$l^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$.

Подставим известные значения: $l = 8$ см и $H = 4$ см.

$8^2 = 4^2 + (\frac{d}{2})^2$

$64 = 16 + (\frac{d}{2})^2$

$(\frac{d}{2})^2 = 64 - 16 = 48$

$\frac{d}{2} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Следовательно, вся диагональ основания $d = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Выразим сторону основания:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6}$ см.

2. Найдем апофему пирамиды.

Апофема $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $H$ и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания (равный половине стороны основания, $\frac{a}{2}$).

$\frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

По теореме Пифагора:$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$.

$h_a^2 = 4^2 + (2\sqrt{6})^2 = 16 + 4 \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.

$h_a = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Периметр основания (квадрата) равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{10} = 16\sqrt{6 \cdot 10} = 16\sqrt{60}$.

Упростим полученное выражение:

$S_{бок} = 16\sqrt{4 \cdot 15} = 16 \cdot 2\sqrt{15} = 32\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{15}$ см$^2$.