Номер 192, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а апофема — 5 см. Найдите:

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

3) площадь полной поверхности пирамиды.

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). $SO$ — высота пирамиды. Сторона основания $a = AB = 8$ см. Апофема (высота боковой грани) $SM = 5$ см, где $M$ — середина стороны $CD$.
Угол наклона бокового ребра (например, $SC$) к плоскости основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания ($OC$). Таким образом, искомый угол — это $\angle SCO$ в прямоугольном треугольнике $SOC$.
Для нахождения угла нам нужно найти длины катетов $SO$ и $OC$.
1. Найдем высоту $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Гипотенуза $SM$ — это апофема, $SM = 5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $SO$:
$SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.
2. Найдем длину проекции $OC$. $OC$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$OC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
3. Теперь в прямоугольном треугольнике $SOC$ мы знаем оба катета. Найдем тангенс угла $\angle SCO$:
$\text{tg}(\angle SCO) = \frac{SO}{OC} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
Следовательно, искомый угол равен $\text{arctg}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.
Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
Угол наклона боковой грани (например, $SCD$) к плоскости основания — это двугранный угол между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$. Он измеряется линейным углом $\angle SMO$. Этот угол образован двумя перпендикулярами к общей прямой $CD$: апофемой $SM \perp CD$ и отрезком $OM \perp CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором мы уже знаем длины всех сторон:
- Катет $SO = 3$ см (высота пирамиды).
- Катет $OM = 4$ см (половина стороны основания).
- Гипотенуза $SM = 5$ см (апофема).
Найдем косинус угла $\angle SMO$:
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.
Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

3) площадь полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды ($S_\text{полн}$) равна сумме площади основания ($S_\text{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_\text{бок}$).
$S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок}$.
1. Площадь основания. Основание — квадрат со стороной $a = 8$ см.
$S_\text{осн} = a^2 = 8^2 = 64$ см².
2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника (например, $\triangle SCD$) равна половине произведения его основания ($CD$) на высоту (апофему $SM$).
$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см².
Площадь всей боковой поверхности:
$S_\text{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SCD} = 4 \cdot 20 = 80$ см².
3. Площадь полной поверхности:
$S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок} = 64 + 80 = 144$ см².
Ответ: 144 см².