Номер 198, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей, $SA = SC$, $SB = SD$. Докажите, что отрезок $SO$ — высота пирамиды.

Чтобы доказать, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, необходимо доказать, что он перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В плоскости основания $ABCD$ лежат диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Таким образом, нам нужно доказать, что $SO \perp AC$ и $SO \perp BD$.

1. Рассмотрим треугольник $SAC$.

По условию задачи, $SA = SC$. Это означает, что треугольник $SAC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$, и точка $O$ является серединой отрезка $AC$. Отрезок $SO$ соединяет вершину $S$ с серединой основания $AC$ равнобедренного треугольника $SAC$. Следовательно, $SO$ является медианой этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $SO \perp AC$.

2. Рассмотрим треугольник $SBD$.

По условию задачи, $SB = SD$. Это означает, что треугольник $SBD$ является равнобедренным с основанием $BD$. Так как $O$ — точка пересечения диагоналей, то $BO = OD$, и точка $O$ является серединой отрезка $BD$. Отрезок $SO$ соединяет вершину $S$ с серединой основания $BD$ равнобедренного треугольника $SBD$. Следовательно, $SO$ является медианой этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $SO \perp BD$.

3. Заключение.

Мы доказали, что отрезок $SO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, которые лежат в плоскости основания $(ABCD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$.

По определению, высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания. Так как $SO \perp (ABCD)$, то $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок $SO$ является высотой пирамиды.