Номер 201, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 6 см, а тупой угол — $120^\circ$. Меньшее основание трапеции равно её боковой стороне. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если высота пирамиды равна $2\sqrt{2}$ см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — равнобокая трапеция, а $S$ — вершина пирамиды. Высота пирамиды $SO = H = 2\sqrt{2}$ см, где $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания.

По условию, боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Это означает, что проекция вершины пирамиды на плоскость основания совпадает с центром окружности, описанной около этого основания. То есть, точка $O$ — центр описанной окружности трапеции $ABCD$. Расстояния от точки $O$ до всех вершин трапеции равны радиусу этой окружности $R$: $OA = OB = OC = OD = R$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость (отрезком $OA$). Таким образом, нам нужно найти угол $\alpha = \angle SAO$. Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$. В этом треугольнике катет $SO$ — это высота пирамиды, а катет $OA$ — это радиус $R$ описанной окружности. Тангенс искомого угла равен:$ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} $

Найдем радиус $R$ описанной окружности трапеции. Для этого рассмотрим основание $ABCD$.Дано:

• Трапеция равнобокая: $AB = CD$.
• Боковая сторона $AB = CD = 6$ см.
• Меньшее основание $BC$ равно боковой стороне: $BC = 6$ см.
• Тупой угол $\angle BCD = 120°$.

В равнобокой трапеции сумма углов при боковой стороне равна $180°$, поэтому острый угол при большем основании $\angle CDA = 180° - 120° = 60°$.

Радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, $\triangle BCD$. Найдем диагональ $BD$ по теореме косинусов для треугольника $\triangle BCD$:$ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120°) $$ BD^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) $$ BD^2 = 36 + 36 + 36 = 3 \cdot 36 = 108 $$ BD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} $ см.

Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности для $\triangle BCD$ по теореме синусов:$ \frac{BD}{\sin(\angle BCD)} = 2R $$ R = \frac{BD}{2 \sin(120°)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(60°)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 $ см.

Итак, радиус описанной окружности $R = OA = 6$ см.Теперь мы можем найти искомый угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$:$ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OA} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3} $Следовательно, угол $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) $.