Номер 206, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Боковые грани $DBA$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AC = 21$ см, $AB = 13$ см, $BC = 20$ см, $DA = 16$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DBA} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAC}$.

1. Анализ геометрической конфигурации.
По условию, боковые грани $DBA$ и $DBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DBA$ и $DBC$ является ребро $DB$. Следовательно, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ ($DB \perp (ABC)$).

Из того, что $DB \perp (ABC)$, следует, что $DB$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DB \perp AB$ и $DB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle DBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

2. Нахождение высоты пирамиды DB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBA$. По теореме Пифагора, $DA^2 = DB^2 + AB^2$. Отсюда можем найти длину высоты $DB$:
$DB^2 = DA^2 - AB^2 = 16^2 - 13^2 = 256 - 169 = 87$.
$DB = \sqrt{87}$ см.

3. Вычисление площадей граней DBA и DBC.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{\triangle DBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \sqrt{87} = \frac{13\sqrt{87}}{2}$ см².
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \sqrt{87} = 10\sqrt{87}$ см².

4. Вычисление площади грани DAC.
Для нахождения площади $\triangle DAC$ найдем его высоту $DH$, опущенную на сторону $AC$. Для этого сначала найдем высоту $BH$ в треугольнике основания $ABC$, опущенную на сторону $AC$.
Найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона, зная все три стороны: $a=13$, $b=20$, $c=21$.
Полупериметр $p = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см².
С другой стороны, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.
$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{126 \cdot 2}{21} = 12$ см.
Так как $DB$ - перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BH$ - проекция наклонной $DH$ на эту плоскость, и $BH \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp AC$. Таким образом, $DH$ является высотой $\triangle DAC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBH$. По теореме Пифагора:
$DH^2 = DB^2 + BH^2 = (\sqrt{87})^2 + 12^2 = 87 + 144 = 231$.
$DH = \sqrt{231}$ см.
Теперь найдем площадь $\triangle DAC$:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot \sqrt{231} = \frac{21\sqrt{231}}{2}$ см².

5. Нахождение площади боковой поверхности.
Суммируем площади всех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle DBA} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAC} = \frac{13\sqrt{87}}{2} + 10\sqrt{87} + \frac{21\sqrt{231}}{2}$.
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю: $10\sqrt{87} = \frac{20\sqrt{87}}{2}$.
$S_{бок} = \frac{13\sqrt{87}}{2} + \frac{20\sqrt{87}}{2} + \frac{21\sqrt{231}}{2} = \frac{33\sqrt{87}}{2} + \frac{21\sqrt{231}}{2} = \frac{33\sqrt{87} + 21\sqrt{231}}{2}$ см².
Ответ: $S_{бок} = \frac{33\sqrt{87} + 21\sqrt{231}}{2}$ см².