Номер 202, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Пирамида - номер 202, страница 61.

Условие.

202. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 30°.

Решение.

Решение 2.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) связана с площадью ее основания ($S_{осн}$) и двугранным углом при ребре основания ($\alpha$) формулой:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

1. Вычисление площади основания.
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см.
Для нахождения площади этого треугольника проведем высоту $h$ к его основанию (стороне длиной 8 см). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по $8 / 2 = 4$ см.
Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $h$ и половина основания (4 см), а гипотенузой — боковая сторона треугольника (5 см). По теореме Пифагора:
$h^2 + 4^2 = 5^2$
$h^2 + 16 = 25$
$h^2 = 25 - 16 = 9$
$h = \sqrt{9} = 3$ см.
Теперь можем найти площадь основания ($S_{осн}$):
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см².

2. Вычисление площади боковой поверхности.
Используем формулу, указанную в начале. По условию, двугранный угол $\alpha = 30°$.
Значение косинуса этого угла:
$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$S_{бок} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: $8\sqrt{3}$ см².