Номер 205, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Боковые грани $DCA$ и $DCB$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $\angle BAC = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 10$ см, $DC = 6$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DCA} + S_{\triangle DCB} + S_{\triangle DAB}$.

По условию, боковые грани $DCA$ и $DCB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DCA$ и $DCB$ является ребро $DC$. Следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $DC$ – высота пирамиды.

Из того, что $DC \perp (ABC)$, следует, что $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Значит, треугольники $\triangle DCA$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $C$).

Площадь грани $DCA$ равна половине произведения катетов $AC$ и $DC$:$S_{\triangle DCA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².

Площадь грани $DCB$ равна половине произведения катетов $BC$ и $DC$:$S_{\triangle DCB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Для нахождения площади грани $DAB$ сначала рассмотрим основание пирамиды — треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle BAC = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем катет $AB$:$AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь рассмотрим грань $DAB$. Так как $DC$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $DA$ — наклонная, а $AC$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$, и при этом проекция $AC$ перпендикулярна прямой $AB$ (по условию $\angle BAC = 90^\circ$), то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная $DA$ также перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $\triangle DAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Найдем длину катета $DA$ из прямоугольного треугольника $\triangle DCA$ по теореме Пифагора:$DA^2 = DC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow DA = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle DAB$ равна половине произведения его катетов $AB$ и $DA$:$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$ см².

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_{\triangle DCA} + S_{\triangle DCB} + S_{\triangle DAB} = 24 + 30 + 30 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².