Номер 211, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно $\sqrt{6}$ см, а сторона большего основания — 6 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота равна 2 см.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды, боковыми сторонами — боковые рёбра пирамиды, а высотой — высота пирамиды.

Пусть $a_1$ — сторона большего основания, $d_1$ — его диагональ.
Пусть $a_2$ — сторона меньшего основания, $d_2$ — его диагональ.
Высота пирамиды $h = 2$ см.
Боковое ребро $l = \sqrt{6}$ см.
Сторона большего основания $a_1 = 6$ см.

Площадь диагонального сечения (трапеции) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

1. Найдем диагональ большего основания $d_1$.
Так как основание — квадрат со стороной $a_1 = 6$ см, его диагональ равна:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем диагональ меньшего основания $d_2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усечённой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Эта проекция равна полуразности диагоналей оснований. По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + \left(\frac{d_1 - d_2}{2}\right)^2$
Подставим известные значения:
$(\sqrt{6})^2 = 2^2 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$6 = 4 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$2 = \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}$
$2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - d_2$
$d_2 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Найдем площадь диагонального сечения.
Подставим значения $d_1$, $d_2$ и $h$ в формулу площади трапеции:
$S_{сеч} = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2$
$S_{сеч} = 10\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $10\sqrt{2} \text{ см}^2$.