Номер 210, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 6 см, а боковое ребро — 5 см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей её оснований (нижнего $S_1$ и верхнего $S_2$) и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.

1. Найдём площади оснований.

Сторона нижнего основания $a_1 = 8$ см. Площадь нижнего основания:

$S_1 = a_1^2 = 8^2 = 64$ см².

Сторона верхнего основания $a_2 = 6$ см. Площадь верхнего основания:

$S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых равнобедренных трапеций. Основания каждой трапеции равны сторонам оснований пирамиды (8 см и 6 см), а боковые стороны — боковым рёбрам пирамиды ($l = 5$ см).

Для вычисления площади трапеции нам нужна её высота, которая является апофемой усечённой пирамиды ($h_a$). Найдём апофему, рассмотрев боковую грань. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота образует прямоугольный треугольник, где:

• гипотенуза — боковое ребро пирамиды $l = 5$ см;
• один катет — апофема $h_a$;
• второй катет — полуразность оснований трапеции: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (\frac{a_1 - a_2}{2})^2$

$5^2 = h_a^2 + 1^2$

$25 = h_a^2 + 1$

$h_a^2 = 24$

$h_a = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь найдём площадь одной боковой грани (трапеции):

$S_{тр} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a = \frac{8 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 7 \cdot 2\sqrt{6} = 14\sqrt{6}$ см².

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей четырёх таких трапеций:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 14\sqrt{6} = 56\sqrt{6}$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 64 + 36 + 56\sqrt{6} = 100 + 56\sqrt{6}$ см².

Ответ: $100 + 56\sqrt{6}$ см².