Номер 3, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Прямоугольник $ABCD$ и треугольник $ABE$ не лежат в одной плоскости (рис. 65). На отрезке $AD$ отметили точку $M$, а на отрезке $BC$ — точку $K$ так, что $AM : MD = CK : BK = 1 : 4$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей $MEK$ и $ABC$;

2) точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABE$.

1) линию пересечения плоскостей MEK и ABC;

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
1. Рассмотрим плоскости $(MEK)$ и $(ABC)$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Это означает, что плоскость, проходящая через точки $A, B, C$, совпадает с плоскостью всего прямоугольника, то есть плоскость $(ABC)$ — это то же самое, что и плоскость $(ABCD)$.
2. По условию, точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Так как отрезок $AD$ принадлежит плоскости $(ABCD)$, то и точка $M$ принадлежит этой плоскости.
3. Аналогично, точка $K$ лежит на отрезке $BC$. Так как отрезок $BC$ принадлежит плоскости $(ABCD)$, то и точка $K$ принадлежит этой плоскости.
4. По определению, точки $M$ и $K$ также принадлежат плоскости $(MEK)$.
5. Таким образом, точки $M$ и $K$ являются общими для обеих плоскостей. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей $(MEK)$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точки $M$ и $K$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $(MEK)$ и $(ABC)$ является прямая $MK$.

2) точку пересечения прямой MK с плоскостью ABE.

Для построения точки пересечения прямой и плоскости используем метод вспомогательных плоскостей.
1. Прямая $MK$ лежит в плоскости прямоугольника $(ABCD)$, так как обе точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости. Выберем плоскость $(ABCD)$ в качестве вспомогательной.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABCD)$ с данной плоскостью $(ABE)$. Точки $A$ и $B$ принадлежат обеим этим плоскостям по определению. Следовательно, плоскости $(ABCD)$ и $(ABE)$ пересекаются по прямой $AB$.
3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABE)$ должна принадлежать обеим — и прямой, и плоскости. Так как прямая $MK$ целиком лежит во вспомогательной плоскости $(ABCD)$, то искомая точка также должна лежать в плоскости $(ABCD)$. Это означает, что точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(ABE)$ и $(ABCD)$, то есть на прямой $AB$.
4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABCD)$. Из условия $AM : MD = 1 : 4$ и $CK : BK = 1 : 4$ следует, что прямые $MK$ и $AB$ не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке.
5. Построение: В плоскости $(ABCD)$ продлим прямые $MK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим полученную точку буквой $P$.
Точка $P$ является искомой, так как она одновременно принадлежит прямой $MK$ и прямой $AB$, а прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ABE)$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$.