Номер 4, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно по прямым $a$ и $b$, пересекающимся в точке $A$. Докажите, что точка $A$ принадлежит прямой $m$.

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Это означает, что любая точка, принадлежащая одновременно обеим плоскостям, лежит на прямой $m$. Математически это записывается как $m = \alpha \cap \beta$.

Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$. Из этого следует, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть $a \subset \alpha$.

Аналогично, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $b$. Это означает, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то есть $b \subset \beta$.

В условии сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$. Это значит, что точка $A$ принадлежит одновременно обеим прямым: $A \in a$ и $A \in b$.

Рассмотрим, каким плоскостям принадлежит точка $A$:

1. Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то по свойству принадлежности точки плоскости, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

2. Так как точка $A$ принадлежит прямой $b$ ($A \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $A$ принадлежит и плоскости $\beta$ ($A \in \beta$).

Таким образом, мы доказали, что точка $A$ принадлежит одновременно и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ является общей точкой этих двух плоскостей.

По определению, линия пересечения двух плоскостей (в данном случае прямая $m$) является множеством всех их общих точек. Поскольку $A$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она обязана лежать на их линии пересечения, то есть на прямой $m$.

Итак, $A \in m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка A принадлежит прямой m.