Номер 214, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AB = 13$ см, $A_1B_1 = 7$ см. Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах $AB$ и $AD$ равны. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если $CC_1 = 8$ см.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна сумме площадей ее четырех боковых граней, которые являются трапециями: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$.

1. Площадь граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$

По условию, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Это означает, что ребро $CC_1$ перпендикулярно ребрам $BC$ и $CD$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, боковые грани $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ являются прямоугольными трапециями. Высота этих трапеций равна длине ребра $CC_1$, то есть 8 см. Основания трапеций равны сторонам оснований пирамиды: $BC = CD = 13$ см и $B_1C_1 = C_1D_1 = 7$ см.
Площадь каждой из этих граней вычисляется по формуле площади трапеции:
$S_{BCC_1B_1} = S_{CDD_1C_1} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot CC_1 = \frac{13 + 7}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

2. Площадь граней $ABB_1A_1$ и $DAA_1D_1$

Грани $ABB_1A_1$ и $DAA_1D_1$ также являются трапециями с основаниями 13 см и 7 см. Для нахождения их площади нужно определить их высоту (апофему).
Так как ребро $CC_1$ является высотой пирамиды, проекция верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ на плоскость нижнего основания $ABCD$ — это квадрат со стороной 7 см, вершина $C_1$ которого проецируется в вершину $C$. Условие о равенстве двугранных углов при ребрах $AB$ и $AD$ подтверждает такое расположение оснований.
Рассмотрим грань $DAA_1D_1$. Ее высота $h_{DA}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Один катет этого треугольника — это высота усеченной пирамиды $h = CC_1 = 8$ см. Другой катет — это расстояние в плоскости основания от ребра $AD$ до проекции ребра $A_1D_1$. Это расстояние равно разности длин сторон квадратов-оснований: $13 - 7 = 6$ см.
По теореме Пифагора, находим высоту трапеции $DAA_1D_1$:
$h_{DA} = \sqrt{h^2 + (13-7)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.
В силу симметрии, высота трапеции $ABB_1A_1$ также равна 10 см.
Площадь каждой из этих граней:
$S_{DAA_1D_1} = S_{ABB_1A_1} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot h_{DA} = \frac{13 + 7}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$ см².

3. Общая площадь боковой поверхности

Для нахождения полной площади боковой поверхности усеченной пирамиды сложим площади всех четырех боковых граней:
$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} + S_{DAA_1D_1} + S_{ABB_1A_1}$
$S_{бок} = 80 + 80 + 100 + 100 = 360$ см².
Ответ: 360 см².