Номер 208, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Боковая грань $ADC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AB$ и $BC$ равны $30^{\circ}$. Найдите высоту пирамиды, если $AB = BC = 8$ см, $\angle ABC = 120^{\circ}$.

Пусть $MH$ - высота пирамиды $MABC$, где $H$ - основание высоты, лежащее в плоскости основания $(ABC)$. По условию, боковая грань $ADC$ перпендикулярна плоскости основания. Так как в названии пирамиды $MABC$ вершиной является $M$, а основанием треугольник $ABC$, то боковыми гранями являются $MAB, MBC, MAC$. Вероятно, в условии допущена опечатка, и имелась в виду грань $MAC$. Будем исходить из этого предположения: плоскость $(MAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Так как плоскость $(MAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ и $MH$ - перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то основание высоты $H$ должно лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $AC$.

Двугранный угол при ребре — это угол между двумя плоскостями. Для построения линейного угла двугранного угла при ребре $AB$ опустим из точки $H$ перпендикуляр $HK$ на прямую $AB$ ($HK \perp AB$). Так как $MH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $HK$ — проекция наклонной $MK$ на эту плоскость, и $HK \perp AB$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MK$ также перпендикулярна ребру $AB$ ($MK \perp AB$). Следовательно, угол $\angle MKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. По условию, $\angle MKH = 30^\circ$.

Аналогично, для двугранного угла при ребре $BC$ опустим из точки $H$ перпендикуляр $HL$ на прямую $BC$ ($HL \perp BC$). По теореме о трех перпендикулярах, $ML \perp BC$. Следовательно, угол $\angle MLH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$. По условию, $\angle MLH = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MKH$ и $\triangle MLH$ (они прямоугольные, так как $MH$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости). Из $\triangle MKH$ имеем: $\text{tg}(\angle MKH) = \frac{MH}{HK}$, откуда $MH = HK \cdot \text{tg}(30^\circ)$. Из $\triangle MLH$ имеем: $\text{tg}(\angle MLH) = \frac{MH}{HL}$, откуда $MH = HL \cdot \text{tg}(30^\circ)$. Приравнивая выражения для $MH$, получаем $HK \cdot \text{tg}(30^\circ) = HL \cdot \text{tg}(30^\circ)$, что означает $HK = HL$.

В плоскости основания $(ABC)$ точка $H$, лежащая на прямой $AC$, равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Это свойство точек, лежащих на биссектрисе угла. Следовательно, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. Рассмотрим треугольник основания $\triangle ABC$. По условию $AB = BC = 8$ см, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой. Таким образом, биссектриса угла $\angle ABC$ пересекает основание $AC$ в его середине и перпендикулярна ему. Поскольку $H$ — это точка пересечения биссектрисы и прямой $AC$, то $H$ — середина стороны $AC$, и $BH \perp AC$.

Найдем углы в основании $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный и $\angle ABC = 120^\circ$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь найдем длину отрезка $HK$. $HK$ — это расстояние от точки $H$ до стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH \perp AC$). В $\triangle ABH$ гипотенуза $AB=8$ см и острый угол $\angle BAH = \angle BAC = 30^\circ$. Найдем катет $AH$: $AH = AB \cdot \cos(\angle BAH) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHK$ (он прямоугольный, так как $HK \perp AB$). В нем известна гипотенуза $AH = 4\sqrt{3}$ см и угол $\angle KAH = \angle BAC = 30^\circ$. Найдем катет $HK$: $HK = AH \cdot \sin(\angle KAH) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Наконец, найдем высоту пирамиды $MH$ из прямоугольного треугольника $\triangle MKH$: $MH = HK \cdot \text{tg}(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.