Номер 209, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$ со стороной $8$ см. Грань $MCD$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AD$ и $BC$ равны $45^\circ$. Найдите площадь грани $AMB$.

По условию, основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD со стороной 8 см. Грань MCD перпендикулярна плоскости основания (ABCD).

1. Определение линейных углов двугранных углов.
Двугранный угол при ребре AD образован гранями MAD и ABCD. Чтобы найти его линейный угол, нужно построить перпендикуляры к ребру AD в одной точке, лежащие в этих гранях.
Так как ABCD – квадрат, то сторона CD перпендикулярна стороне AD ($CD \perp AD$).
Поскольку грань (MCD) перпендикулярна плоскости основания (ABCD), то любая прямая в плоскости (MCD), перпендикулярная их линии пересечения (прямой CD), будет перпендикулярна всей плоскости основания. Проведем высоту MH в треугольнике MCD. Тогда MH – высота пирамиды, и $MH \perp (ABCD)$.
Рассмотрим наклонную MD и ее проекцию HD на плоскость основания (ABCD). Так как $AD \perp CD$ (а значит и $AD \perp HD$), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная MD также перпендикулярна AD ($MD \perp AD$).
Таким образом, линейным углом двугранного угла при ребре AD является угол между двумя перпендикулярами к AD, проведенными в точке D: это угол $\angle MDC$. По условию, $\angle MDC = 45^\circ$.
Аналогично для ребра BC. $BC \perp CD$. Проекцией наклонной MC на плоскость основания является HC. По теореме о трёх перпендикулярах, $MC \perp BC$. Следовательно, линейным углом двугранного угла при ребре BC является угол $\angle MCD$. По условию, $\angle MCD = 45^\circ$.

2. Нахождение высоты пирамиды.
Рассмотрим грань MCD. Это треугольник, в котором нам известны два угла: $\angle MDC = 45^\circ$ и $\angle MCD = 45^\circ$. Следовательно, треугольник MCD является равнобедренным с основанием CD. Проведём высоту MH к основанию CD. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка H – середина отрезка CD. $DH = HC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Как было показано ранее, MH – высота пирамиды, то есть $MH \perp (ABCD)$, а значит $MH \perp CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник MHD ($\angle MHD = 90^\circ$). В нём угол $\angle MDH = 45^\circ$, следовательно, он также является равнобедренным, и катеты MH и DH равны. $MH = DH = 4$ см.

3. Нахождение площади грани AMB.
Грань AMB – это треугольник. Его площадь вычисляется по формуле $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK$, где MK – высота треугольника AMB, проведенная к основанию AB. Основание AB равно стороне квадрата, $AB = 8$ см. Для нахождения высоты MK поступим следующим образом. Пусть H – середина CD, а K – середина AB. Отрезок HK соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому он перпендикулярен сторонам AB и CD и равен по длине стороне квадрата: $HK \perp AB$ и $HK = AD = 8$ см. Рассмотрим треугольник MHK. Так как MH – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе HK ($MH \perp HK$). Таким образом, треугольник MHK – прямоугольный. По теореме Пифагора найдем гипотенузу MK: $MK^2 = MH^2 + HK^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$ $MK = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Теперь докажем, что MK является высотой треугольника AMB. MK – наклонная к плоскости основания, HK – её проекция. Так как проекция $HK \perp AB$, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $MK \perp AB$. Следовательно, MK – высота треугольника AMB.

Теперь мы можем вычислить площадь грани AMB: $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{5}$ см$^2$.