Страница 61 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 30°.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) связана с площадью ее основания ($S_{осн}$) и двугранным углом при ребре основания ($\alpha$) формулой:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

1. Вычисление площади основания.
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см.
Для нахождения площади этого треугольника проведем высоту $h$ к его основанию (стороне длиной 8 см). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по $8 / 2 = 4$ см.
Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $h$ и половина основания (4 см), а гипотенузой — боковая сторона треугольника (5 см). По теореме Пифагора:
$h^2 + 4^2 = 5^2$
$h^2 + 16 = 25$
$h^2 = 25 - 16 = 9$
$h = \sqrt{9} = 3$ см.
Теперь можем найти площадь основания ($S_{осн}$):
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см².

2. Вычисление площади боковой поверхности.
Используем формулу, указанную в начале. По условию, двугранный угол $\alpha = 30°$.
Значение косинуса этого угла:
$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$S_{бок} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: $8\sqrt{3}$ см².

203. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим острым углом $\alpha$. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равны $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. В этом случае площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания ($S_{осн}$) соотношением:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\beta)}$

Найдем площадь основания. Основанием является прямоугольный треугольник. Пусть один из его катетов равен $a$, а противолежащий ему острый угол равен $\alpha$.

Найдем второй катет, обозначим его $b$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Отсюда второй катет равен:

$b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$

Площадь прямоугольного треугольника (основания пирамиды) равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cot(\alpha)) = \frac{a^2 \cot(\alpha)}{2}$

Теперь, зная площадь основания, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды, подставив $S_{осн}$ в исходную формулу:

$S_{бок} = \frac{\frac{a^2 \cot(\alpha)}{2}}{\cos(\beta)} = \frac{a^2 \cot(\alpha)}{2 \cos(\beta)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{a^2 \cot(\alpha)}{2 \cos(\beta)}$

204. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна 10 см. Острый угол трапеции равен $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Анализ основания и нахождение его площади.

Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Пусть это будет трапеция ABCD, где AB – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям AD и BC. Тогда высота трапеции $h = AB = 10$ см. Острый угол трапеции – это $\angle D = 30°$.

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, в котором катет $CH = AB = 10$ см, а угол $\angle D = 30°$.

Найдем большую боковую сторону CD:

$CD = \frac{CH}{\sin(\angle D)} = \frac{10}{\sin(30°)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны 45°. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность.

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы его противолежащих сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Сумма оснований трапеции равна:

$BC + AD = 10 + 20 = 30$ см.

Теперь можем найти площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{30}{2} \cdot 10 = 150$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности.

Существует теорема, связывающая площадь многоугольника ($S_{осн}$), площадь его ортогональной проекции на другую плоскость ($S_{бок}$), и угол между этими плоскостями ($\alpha$). В нашем случае основание пирамиды является ортогональной проекцией ее боковой поверхности.

Так как все двугранные углы при основании равны, можно использовать формулу:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha = 45°$ – заданный двугранный угол.

Отсюда выражаем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)} = \frac{150}{\cos(45°)} = \frac{150}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300\sqrt{2}}{2} = 150\sqrt{2}$ см².

3. Нахождение полной площади поверхности.

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150 + 150\sqrt{2} = 150(1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $150(1 + \sqrt{2})$ см².

205. Боковые грани $DCA$ и $DCB$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $\angle BAC = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 10$ см, $DC = 6$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DCA} + S_{\triangle DCB} + S_{\triangle DAB}$.

По условию, боковые грани $DCA$ и $DCB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DCA$ и $DCB$ является ребро $DC$. Следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $DC$ – высота пирамиды.

Из того, что $DC \perp (ABC)$, следует, что $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Значит, треугольники $\triangle DCA$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $C$).

Площадь грани $DCA$ равна половине произведения катетов $AC$ и $DC$:$S_{\triangle DCA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².

Площадь грани $DCB$ равна половине произведения катетов $BC$ и $DC$:$S_{\triangle DCB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Для нахождения площади грани $DAB$ сначала рассмотрим основание пирамиды — треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle BAC = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем катет $AB$:$AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь рассмотрим грань $DAB$. Так как $DC$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $DA$ — наклонная, а $AC$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$, и при этом проекция $AC$ перпендикулярна прямой $AB$ (по условию $\angle BAC = 90^\circ$), то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная $DA$ также перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $\triangle DAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Найдем длину катета $DA$ из прямоугольного треугольника $\triangle DCA$ по теореме Пифагора:$DA^2 = DC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow DA = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle DAB$ равна половине произведения его катетов $AB$ и $DA$:$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$ см².

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_{\triangle DCA} + S_{\triangle DCB} + S_{\triangle DAB} = 24 + 30 + 30 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².

206. Боковые грани $DBA$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AC = 21$ см, $AB = 13$ см, $BC = 20$ см, $DA = 16$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DBA} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAC}$.

1. Анализ геометрической конфигурации.
По условию, боковые грани $DBA$ и $DBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DBA$ и $DBC$ является ребро $DB$. Следовательно, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ ($DB \perp (ABC)$).

Из того, что $DB \perp (ABC)$, следует, что $DB$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DB \perp AB$ и $DB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle DBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

2. Нахождение высоты пирамиды DB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBA$. По теореме Пифагора, $DA^2 = DB^2 + AB^2$. Отсюда можем найти длину высоты $DB$:
$DB^2 = DA^2 - AB^2 = 16^2 - 13^2 = 256 - 169 = 87$.
$DB = \sqrt{87}$ см.

3. Вычисление площадей граней DBA и DBC.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{\triangle DBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \sqrt{87} = \frac{13\sqrt{87}}{2}$ см².
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \sqrt{87} = 10\sqrt{87}$ см².

4. Вычисление площади грани DAC.
Для нахождения площади $\triangle DAC$ найдем его высоту $DH$, опущенную на сторону $AC$. Для этого сначала найдем высоту $BH$ в треугольнике основания $ABC$, опущенную на сторону $AC$.
Найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона, зная все три стороны: $a=13$, $b=20$, $c=21$.
Полупериметр $p = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см².
С другой стороны, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.
$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{126 \cdot 2}{21} = 12$ см.
Так как $DB$ - перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BH$ - проекция наклонной $DH$ на эту плоскость, и $BH \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp AC$. Таким образом, $DH$ является высотой $\triangle DAC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBH$. По теореме Пифагора:
$DH^2 = DB^2 + BH^2 = (\sqrt{87})^2 + 12^2 = 87 + 144 = 231$.
$DH = \sqrt{231}$ см.
Теперь найдем площадь $\triangle DAC$:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot \sqrt{231} = \frac{21\sqrt{231}}{2}$ см².

5. Нахождение площади боковой поверхности.
Суммируем площади всех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle DBA} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAC} = \frac{13\sqrt{87}}{2} + 10\sqrt{87} + \frac{21\sqrt{231}}{2}$.
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю: $10\sqrt{87} = \frac{20\sqrt{87}}{2}$.
$S_{бок} = \frac{13\sqrt{87}}{2} + \frac{20\sqrt{87}}{2} + \frac{21\sqrt{231}}{2} = \frac{33\sqrt{87}}{2} + \frac{21\sqrt{231}}{2} = \frac{33\sqrt{87} + 21\sqrt{231}}{2}$ см².
Ответ: $S_{бок} = \frac{33\sqrt{87} + 21\sqrt{231}}{2}$ см².

207. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 8 см. Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а каждая из двух других образует с ней угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 8$ см.По условию, две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой $SA$, перпендикулярны третьей плоскости $(ABCD)$, то их линия пересечения $SA$ также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды $H$.Следовательно, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Две другие боковые грани, $(SBC)$ и $(SDC)$, образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$.Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это двугранный угол. Его величину измеряют линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим грань $(SBC)$ и основание $(ABCD)$. Линия их пересечения — $BC$.В плоскости основания проведем перпендикуляр к $BC$ из точки $B$ — это отрезок $AB$, так как $ABCD$ — квадрат.$SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SB$ — наклонная, $AB$ — ее проекция. Так как $AB \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SB \perp BC$.Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SBC)$ и основанием. По условию, $\angle SBA = 60^\circ$.Аналогично для грани $(SDC)$: $AD \perp CD$, значит по теореме о трех перпендикулярах $SD \perp CD$. Угол $\angle SDA$ является линейным углом между гранью $(SDC)$ и основанием, и $\angle SDA = 60^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех боковых граней:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$

1. Найдем площади граней $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAB$ ($\angle A = 90^\circ$). Катет $AB = 8$ см, $\angle SBA = 60^\circ$.Найдем высоту пирамиды $SA$:$SA = AB \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.Площадь $\triangle SAB$:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Треугольник $\triangle SAD$ равен треугольнику $\triangle SAB$ (по двум катетам: $SA$ — общий, $AD = AB = 8$ см).Следовательно, их площади равны:$S_{SAD} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площади граней $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$.

Мы установили, что $\triangle SBC$ — прямоугольный ($\angle SBC = 90^\circ$). Катет $BC = 8$ см. Найдем катет $SB$ из $\triangle SAB$:$SB = \frac{AB}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$ см.Площадь $\triangle SBC$:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = 64$ см$^2$.

Треугольник $\triangle SDC$ равен треугольнику $\triangle SBC$ (по двум катетам: $CD = BC = 8$ см, а $SD = SB = 16$ см из равенства $\triangle SAD$ и $\triangle SAB$).Следовательно, их площади равны:$S_{SDC} = 64$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 32\sqrt{3} + 32\sqrt{3} + 64 + 64 = 64\sqrt{3} + 128$ см$^2$.Можно вынести общий множитель: $S_{бок} = 64(\sqrt{3} + 2)$ см$^2$.

Ответ: $128 + 64\sqrt{3}$ см$^2$ или $64(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

208. Боковая грань $ADC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AB$ и $BC$ равны $30^{\circ}$. Найдите высоту пирамиды, если $AB = BC = 8$ см, $\angle ABC = 120^{\circ}$.

Пусть $MH$ - высота пирамиды $MABC$, где $H$ - основание высоты, лежащее в плоскости основания $(ABC)$. По условию, боковая грань $ADC$ перпендикулярна плоскости основания. Так как в названии пирамиды $MABC$ вершиной является $M$, а основанием треугольник $ABC$, то боковыми гранями являются $MAB, MBC, MAC$. Вероятно, в условии допущена опечатка, и имелась в виду грань $MAC$. Будем исходить из этого предположения: плоскость $(MAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Так как плоскость $(MAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ и $MH$ - перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то основание высоты $H$ должно лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $AC$.

Двугранный угол при ребре — это угол между двумя плоскостями. Для построения линейного угла двугранного угла при ребре $AB$ опустим из точки $H$ перпендикуляр $HK$ на прямую $AB$ ($HK \perp AB$). Так как $MH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $HK$ — проекция наклонной $MK$ на эту плоскость, и $HK \perp AB$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MK$ также перпендикулярна ребру $AB$ ($MK \perp AB$). Следовательно, угол $\angle MKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. По условию, $\angle MKH = 30^\circ$.

Аналогично, для двугранного угла при ребре $BC$ опустим из точки $H$ перпендикуляр $HL$ на прямую $BC$ ($HL \perp BC$). По теореме о трех перпендикулярах, $ML \perp BC$. Следовательно, угол $\angle MLH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$. По условию, $\angle MLH = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MKH$ и $\triangle MLH$ (они прямоугольные, так как $MH$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости). Из $\triangle MKH$ имеем: $\text{tg}(\angle MKH) = \frac{MH}{HK}$, откуда $MH = HK \cdot \text{tg}(30^\circ)$. Из $\triangle MLH$ имеем: $\text{tg}(\angle MLH) = \frac{MH}{HL}$, откуда $MH = HL \cdot \text{tg}(30^\circ)$. Приравнивая выражения для $MH$, получаем $HK \cdot \text{tg}(30^\circ) = HL \cdot \text{tg}(30^\circ)$, что означает $HK = HL$.

В плоскости основания $(ABC)$ точка $H$, лежащая на прямой $AC$, равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Это свойство точек, лежащих на биссектрисе угла. Следовательно, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. Рассмотрим треугольник основания $\triangle ABC$. По условию $AB = BC = 8$ см, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой. Таким образом, биссектриса угла $\angle ABC$ пересекает основание $AC$ в его середине и перпендикулярна ему. Поскольку $H$ — это точка пересечения биссектрисы и прямой $AC$, то $H$ — середина стороны $AC$, и $BH \perp AC$.

Найдем углы в основании $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный и $\angle ABC = 120^\circ$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь найдем длину отрезка $HK$. $HK$ — это расстояние от точки $H$ до стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH \perp AC$). В $\triangle ABH$ гипотенуза $AB=8$ см и острый угол $\angle BAH = \angle BAC = 30^\circ$. Найдем катет $AH$: $AH = AB \cdot \cos(\angle BAH) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHK$ (он прямоугольный, так как $HK \perp AB$). В нем известна гипотенуза $AH = 4\sqrt{3}$ см и угол $\angle KAH = \angle BAC = 30^\circ$. Найдем катет $HK$: $HK = AH \cdot \sin(\angle KAH) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Наконец, найдем высоту пирамиды $MH$ из прямоугольного треугольника $\triangle MKH$: $MH = HK \cdot \text{tg}(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$ со стороной $8$ см. Грань $MCD$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AD$ и $BC$ равны $45^\circ$. Найдите площадь грани $AMB$.

По условию, основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD со стороной 8 см. Грань MCD перпендикулярна плоскости основания (ABCD).

1. Определение линейных углов двугранных углов.
Двугранный угол при ребре AD образован гранями MAD и ABCD. Чтобы найти его линейный угол, нужно построить перпендикуляры к ребру AD в одной точке, лежащие в этих гранях.
Так как ABCD – квадрат, то сторона CD перпендикулярна стороне AD ($CD \perp AD$).
Поскольку грань (MCD) перпендикулярна плоскости основания (ABCD), то любая прямая в плоскости (MCD), перпендикулярная их линии пересечения (прямой CD), будет перпендикулярна всей плоскости основания. Проведем высоту MH в треугольнике MCD. Тогда MH – высота пирамиды, и $MH \perp (ABCD)$.
Рассмотрим наклонную MD и ее проекцию HD на плоскость основания (ABCD). Так как $AD \perp CD$ (а значит и $AD \perp HD$), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная MD также перпендикулярна AD ($MD \perp AD$).
Таким образом, линейным углом двугранного угла при ребре AD является угол между двумя перпендикулярами к AD, проведенными в точке D: это угол $\angle MDC$. По условию, $\angle MDC = 45^\circ$.
Аналогично для ребра BC. $BC \perp CD$. Проекцией наклонной MC на плоскость основания является HC. По теореме о трёх перпендикулярах, $MC \perp BC$. Следовательно, линейным углом двугранного угла при ребре BC является угол $\angle MCD$. По условию, $\angle MCD = 45^\circ$.

2. Нахождение высоты пирамиды.
Рассмотрим грань MCD. Это треугольник, в котором нам известны два угла: $\angle MDC = 45^\circ$ и $\angle MCD = 45^\circ$. Следовательно, треугольник MCD является равнобедренным с основанием CD. Проведём высоту MH к основанию CD. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка H – середина отрезка CD. $DH = HC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Как было показано ранее, MH – высота пирамиды, то есть $MH \perp (ABCD)$, а значит $MH \perp CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник MHD ($\angle MHD = 90^\circ$). В нём угол $\angle MDH = 45^\circ$, следовательно, он также является равнобедренным, и катеты MH и DH равны. $MH = DH = 4$ см.

3. Нахождение площади грани AMB.
Грань AMB – это треугольник. Его площадь вычисляется по формуле $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK$, где MK – высота треугольника AMB, проведенная к основанию AB. Основание AB равно стороне квадрата, $AB = 8$ см. Для нахождения высоты MK поступим следующим образом. Пусть H – середина CD, а K – середина AB. Отрезок HK соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому он перпендикулярен сторонам AB и CD и равен по длине стороне квадрата: $HK \perp AB$ и $HK = AD = 8$ см. Рассмотрим треугольник MHK. Так как MH – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе HK ($MH \perp HK$). Таким образом, треугольник MHK – прямоугольный. По теореме Пифагора найдем гипотенузу MK: $MK^2 = MH^2 + HK^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$ $MK = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Теперь докажем, что MK является высотой треугольника AMB. MK – наклонная к плоскости основания, HK – её проекция. Так как проекция $HK \perp AB$, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $MK \perp AB$. Следовательно, MK – высота треугольника AMB.

Теперь мы можем вычислить площадь грани AMB: $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{5}$ см$^2$.